• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Zdanie logiczne



    Podstrony: [1] 2 [3]
    Przeczytaj także...
    Funktor zdaniotwórczy – wyrażenie, które wraz z innymi wyrażeniami, nazywanymi argumentami funktora, tworzy zdanie lub funkcję zdaniową.Fakt w rozumieniu potocznym jest to wydarzenie, które miało miejsce w określonym miejscu i czasie. W tym sensie faktem nie może być zdarzenie, które nie miało jeszcze miejsca, można jednak mówić o przewidywaniu przyszłych faktów - czyli zdarzeń które najprawdopodobniej się wydarzą. Zdarzenia te jednak stają się faktami dopiero wtedy, gdy się już wydarzą.
    Zdania w rachunku zdań[ | edytuj kod]

    Definicja[ | edytuj kod]

    Aby zdefiniować formalnie czym jest zdanie, najpierw ustalamy zbiór zmiennych zdaniowych (tradycyjnie jest to zbiór liter z indeksami będącymi liczbami naturalnymi, czyli ). Zmienne zdaniowe mają reprezentować proste zdania których wartość logiczną możemy łatwo rozstrzygnąć, ale ta interpretacja nie jest w ogóle potrzebna w rachunku zdań. Zmienne zdaniowe mogą być (i często są) traktowane jako formalne symbole bez specjalnego znaczenia poza budowaną teorią.

    Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy, gdy.Formuła logiczna to określenie dozwolonego wyrażenia w wielu systemach logicznych, m.in. w rachunku kwantyfikatorów oraz w rachunku zdań.

    Następnie ustalamy zbiór spójników logicznych, z których każdy ma ustaloną arność. Najczęściej używanymi spójnikami logicznymi są: spójnik jednoargumentowy (negacja) i cztery spójniki dwuargumentowe: (alternatywa), (koniunkcja), (implikacja) i (równoważność).

    Nazwa – obok zdania i funktora jedna z trzech głównych kategorii syntaktycznych wyróżnionych w teorii kategorii syntaktycznych; nazwa to każde wyrażenie złożone lub proste, które przy danym jego rozumieniu może pełnić funkcję podmiotu lub orzecznika w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym. Niekiedy określa się nazwy jako wyrażenia mogące pełnić funkcję podmiotu, nie funkcję podmiotu i orzecznika.Język – ukształtowany społecznie system budowania wypowiedzi, używany w procesie komunikacji interpersonalnej. Na język składają się dwa elementy:

    Niech będzie zbiorem ciągów symboli, który jest najmniejszym zbiorem o następujących własnościach:

  • każda zmienna zdaniowa należy do
  • jeśli to również
  • jeśli i jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to również
  • Elementy zbioru są nazywane zdaniami.

    Stan rzeczy – w filozofii: korelat semantyczny zdania sensownego (prawdziwego lub fałszywego). Stan rzeczy, który ma miejsce to fakt.Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce i logice matematycznej na oznaczenie zwrotów: dla każdego, istnieje takie i im pokrewnych, a także odpowiadającym im symbolom wiążacym zmienne w formułach. Są podstawowym elementem w rozwoju logiki pierwszego rzędu.

    Przykłady i własności[ | edytuj kod]

    Ustalmy zbiór zmiennych zdaniowych i zbiór spójników logicznych jak zaproponowane powyżej.

  • Następujące ciągi symboli są zdaniami naszego rachunku zdań:
  • Często dla poprawienia czytelności naszych napisów omijamy pewne nawiasy i piszemy np zamiast Istnieją również umowy co do kolejności wykonywanych operacji pozwalające na jeszcze poważniejsze omijanie nawiasów. Jednak ściśle biorąc nawiasy są potrzebne czy nawet niezbędne i lepiej jest je wszystkie zanotować niż zbyt wiele ominąć.
  • Następujące ciągi symboli nie są zdaniami naszego rachunku zdań:
  • Jeśli każdej zmiennej zdaniowej przyporządkujemy jakąś wartość logiczną, to przyporządkowanie jest rozszerzane na wszystkie zdania (przez indukcję po złożoności zdania). Niektóre zdania otrzymają wartość logiczną prawda bez względu na to jakie jest początkowe przyporządkowanie. Takie zdania nazywamy tautologiami rachunku zdań. Przykładami tautologii są i
  • Skończone ciągi zdań mogą utworzyć dowód.
  • Podział zdań[ | edytuj kod]

  • Zdania proste – w których nie występuje żaden spójnik
  • Zdania złożone – w których występuje co najmniej jeden spójnik
  • Zdania w rachunku kwantyfikatorów[ | edytuj kod]

    W rachunku kwantyfikatorów struktura studiowanych wyrażeń jest o wiele bogatsza niż w rachunku zdań i zdania są tylko specjalnym rodzajem tychże wyrażeń.

    Język w logice matematycznej to pewien zbiór symboli, przy użyciu których można tworzyć bardziej złożone wyrażenia (na przykład formuły, zdania) według ściśle określonych reguł syntaktycznych. Przyjmuje się, że w danym języku L mogą występować (w dowolnej ilości) symbole funkcyjne, relacyjne oraz symbole stałych. Zdania napisane przy użyciu języków tego typu wystarczają do opisu większości własności dowolnych struktur matematycznych oraz do wyrażenia twierdzeń mówiących o tych strukturach.Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.

    Definicja[ | edytuj kod]

    Ustalmy alfabet który jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z symboli ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalamy też listę zmiennych (zwykle ). Najpierw definiujemy termy języka jako elementy najmniejszego zbioru takiego, że:

    Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.Hipoteza continuum (skr. CH, od ang. continuum hypothesis) – postawiona przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.
  • wszystkie stałe i zmienne należą do
  • jeśli i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to
  • Następnie określamy zbiór formuł języka jako najmniejszy zbiór taki, że:

    Koniunkcja – zdanie złożone mające postać p i q , gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: p ∧ q {displaystyle p,land ,q,!} . Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać p(1) i ... i p(n). Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i qFałsz – jedna z dwóch podstawowych wartości logicznych. Drugą jest prawda. Fałsz jest niezgodnością treści sądu (zdania) z tym, do czego się odnosi.
  • jeśli to należy do
  • jeśli zaś jest -arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie należy do
  • jeśli i jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to oraz
  • jeśli jest zmienną oraz to także i
  • W formułach postaci i mówimy że zmienna znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana.

    Teoria modeli (nazywana też czasem semantyką logiczną) to dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy.Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).

    Zdanie w języku pierwszego rzędu to taka formuła, w której każda zmienna jest związana, tj. znajduje się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora.

    Przykłady i własności[ | edytuj kod]

  • Następujące formuły są zdaniami (dla odpowiednio dobranego alfabetu ): AC, CH
  • Następująca formuła nie jest zdaniem ponieważ zmienna nie jest związana:
  • Jeśli stałe, symbole funkcyjne i symbole relacyjne alfabetu zostaną zinterpretowane (czyli gdy zbudujemy model dla naszego języka), to o każdym zdaniu możemy rozstrzygnąć czy jest ono spełnione w tym modelu czy też nie.
  • Zmienna zdaniowa – bezargumentowy symbol w rachunku zdań. Zmiennym zdaniowym, w procesie zwanym wartościowaniem, przyporządkowywane są wartości prawda lub fałsz.Tautologia (wywodzi się od greckich słów ταυτος – ten sam i λογος – mowa) – wyrażenie, które jest prawdziwe na mocy swojej formy – budowy (dokładniej: które jest prawdziwe w każdej niepustej dziedzinie; zdanie zawsze prawdziwe). W logicznym znaczeniu zostało użyte po raz pierwszy przez Ludwika Wittgensteina (Tractatus logico-philosophicus 1922).


    Podstrony: [1] 2 [3]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Wypowiedź (inaczej wypowiedzenie) – komunikat językowy lub minimalna jednostka językowa tekstu, która przybiera postać pojedynczego zdania lub zbioru takich zdań. Można je wydzielić przez analizę semantyczną lub formalną.
    Dowód – w matematyce wykazanie, że pewne zdanie jest prawdziwe. Dowód należy odróżnić od empirycznego lub heurystycznego rozumowania. Każdy krok dowodu musi jasno wynikać z poprzednich lub być przyjętym aksjomatem; rozumowanie nie spełniające tego warunku nie jest dowodem. Ostatni krok dowodu to udowodnione zdanie, które w ten sposób staje się twierdzeniem danej teorii. Zwyczajowo koniec dowodu oznacza się skrótem q.e.d. (quod erat demonstrandum), c.n.d. (co należało dowieść) lub podobnym.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.99 sek.