Algebra zewnętrzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Wielowektor)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Orientacja zdefiniowana przez uporządkowany zbiór wektorów.
Odwrotna orientacja odpowiadająca ujemnemu iloczynowi zewnętrznemu.
Interpretacja geometryczna iloczynu zewnętrznego elementów: Geometryczna interpretacja elementów stopnia n algebry zewnętrznej dla n=0 (pojedynczy punkt), 1 (zorientowany odcinek prostej), 2 (zorientowany element powierzchni), 3 (zorientowany element objętości). Iloczyn zewnętrzny n wektorów można zobrazować jako dowolny n-wymiarowy obiekt (e.g. n-równoległościan, n-elipsoida); wielkość n-wymiarowych obiektów jest równa wielkości ograniczonej ich brzegiem (np. długość odcinka, pole elementu powierzchni, objętość równoległościanu, hiperobjętość n-równoległościanu), a jej znak zależy od tego, czy jego orientacja jest zgodna czy przeciwna do przyjętej w przestrzeni orientacji.

Iloczyn zewnętrzny – konstrukcja algebraiczna używana w geometrii do badania powierzchni, objętości i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów oraz oznacza się symbolem i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach oraz W trzech wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów oraz

Sir Roger Penrose (ur. 8 sierpnia 1931 w Colchester w Anglii) – angielski fizyk i matematyk. Jest synem lekarza, genetyka i matematyka Lionela Penrose’a oraz bratem matematyka Olivera Penrose’a i szachisty Jonathana Penrose’a.Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny jest antyprzemienny, tj. W odróżnieniu jednak od iloczynu wektorowego iloczyn zewnętrzny jest łączny, tj.

Biwektor można wyobrazić sobie jako rodzinę równoległoboków leżących w tej samej płaszczyźnie, mających tę samą powierzchnię i tę samą orientację – zgodną lub przeciwną do ruchu wskazówek zegara.

Z definicji wynika, że np.

jeżeli wektory są równoległe.

Przykład[ | edytuj kod]

Pole elementu na płaszczyźnie[ | edytuj kod]

(1) Płaszczyzna jest przestrzenią wektorową 2-wymiarową, której bazę stanowi para wektorów

Niech dane będą dwa wektory

które wyznaczają równoległobok, mający oraz jako boki. Powierzchnia tego równoległoboku dana jest wyrażeniem

(2) Obliczmy teraz iloczyn zewnętrzny wektorów oraz

– w pierwszym kroku wykorzystane zostało prawo rozdzielności iloczynu zewnętrznego, a ostatni etap używa faktu, że (Wynika stąd np. że ). Współczynnik w ostatnim wyrażeniu jest równy wyznacznikowi macierzy Fakt, że może być on dodatni lub ujemny oznacza, że zależy on od kolejności mnożonych wektorów oraz która to kolejność może wyznaczać obrót zgodny ze wskazówkami zegara lub przeciwny. Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią zorientowaną: wartość iloczynu jest równa wielkości powierzchni, zaś znak określa orientację.

Jeżeli jest powierzchnią zorientowaną, rozpiętą przez wektory oraz to ma następujące właściwości:

  1. dla dowolnych liczb rzeczywistych oraz ponieważ przeskalowując boki zmieniamy wielkość równoległoboku, jak również orientację – gdy mnożymy wektor przez liczbę ujemną.
  2. ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku jest równa 0.
  3. ponieważ zmiana kolejności wektorów ma zmieniać znak.
  4. dla dowolnych ponieważ dodanie wielokrotności wektora do nie zmienia ani podstawy, ani wysokości równoległoboku – w efekcie zachowuje powierzchnię.
  5. ponieważ wielkość jednostkowego kwadratu jest równa 1.

W pewnym sensie iloczyn zewnętrzny uogólnia pojęcie powierzchni, gdyż pozwala porównywać powierzchnie dowolnych elementów w przestrzeni np. z powierzchnią jednostkowego kwadratu. Innymi słowy: Iloczyn zewnętrzny daje niezależne od układu współrzędnych pojęcie pola powierzchni oraz metodę jej obliczania.

Podstrony: 1 [2] [3] [4]




Reklama