Widmo (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Widmo operatora)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Widmo (elementu algebry) – dla danego elementu (zwykle zespolonej) algebry z jedynką zbiór

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa) – grupa wszystkich odwracalnych (czyli grupa multiplikatywna pierścienia) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem.Podprzestrzeń komplementarna – domknięta podprzestrzeń liniowa X danej przestrzeni liniowo-topologicznej E o tej własności, że istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa Y, iż

przy czym oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze oraz jedynkę w tej algebrze. Widmo definiuje się także dla elementów algebr, które nie mają jedynki, traktując dany element jako element algebry po dołączeniu jedynki.

Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzoremTwierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, że

Widmo elementu a w pewnej algebrze A oznacza się również symbolem jeżeli z góry wiadomo o jakiej algebrze jest mowa. Często, pod pojęciem widma rozumie się widmo operatora ograniczonego na pewnej przestrzeni Banacha traktowanego jako element algebry Banacha wszystkich operatorów ograniczonych na Definicja widma ma również sens dla nieograniczonych operatorów domykalnych (określonych, na przykład, na gęstych podprzestrzeniach danej przestrzeni Banacha).

Baza Schaudera - w analizie funkcjonalnej - ciąg (xn) elementów przestrzeni Banacha X o tej własności, że dla każdego elementu x przestrzeni X istnieje dokładnie jeden taki ciąg skalarów (an), żeAlgebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz spełnia warunek

Własności[ | edytuj kod]

  • Widmo każdego elementu dowolnej zespolonej algebry Banacha jest niepustym i zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej.
  • Algebra Banacha jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element ma skończone widmo.
  • Zachodzi następujący wzór Gelfanda (poniżej, oznacza promień spektralny elementu danej algebry Banacha ):
  • Dla każdego zwartego podzbioru płaszczyzny zespolonej istnieje operator ograniczony na przestrzeni Hilberta, którego jest on widmem (ogólniej, taki zbiór istnieje dla każdej przestrzeni Banacha, która zawiera nieskończenie wymiarową komplementarną podprzestrzeń z bezwarunkową bazą Schaudera). Istnieją przestrzenie Banacha dla których podobne stwierdzenie jest jednak fałszywe, na przykład, zespolone przestrzenie dziedzicznie nierozkładalne (tzw. przestrzeni HI), na przykład przestrzeń Gowersa-Maurey'a.
  • Zobacz też[ | edytuj kod]

  • degeneracja widma
  • twierdzenie spektralne
  • Przypisy[ | edytuj kod]

    1. I. Kaplansky, Ring isomorphisms of Banach algebras, „Canad. J. Math.”, 6 (1954), 374–381.
    2. W. T. Gowers, B. Maurey, The unconditional basic sequence problem, „Jour. Amer. Math. Soc.” 6 (1993), 851–874.
    Operator liniowy ograniczony T to taki operator liniowy pomiędzy unormowanymi przestrzeniami X i Y, że istnieje pewna liczba nieujemna C, która dla każdego x należącego do X spełniaDegeneracja widma – właściwość widma operatora w przestrzeni Banacha dla której spełnione są warunki twierdzenia spektralnego, polegająca na tym, że przynajmniej dla jednej wartości własnej (tzw. zdegenerowanej wartości własnej), przestrzeń odpowiadających jej wektorów własnych nie jest jednowymiarowa.




    Reklama