• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Warunek Lipschitza



    Podstrony: [1] 2 [3]
    Przeczytaj także...
    Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.
    Podstawowe własności[ | edytuj kod]
  • Niech będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest ograniczona przez
  • Dowód. Załóżmy, że spełnia warunek Lipschitza ze stałą Niech Wówczas dla Stąd By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że dla wszelkich Niech Bez straty ogólności, można przyjąć, że Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje takie że Ponieważ co pokazuje, że spełnia warunek Lipschitza ze stałą
  • Funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest funkcją jednostajnie ciągłą.
  • Dowód. Niech będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą Niech oraz niech dany będzie Gdy to o ile tylko Rozumowanie to przenosi się mutatis mutandis na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.
  • Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech będzie ciągiem funkcji rzeczywistych na Jeżeli ciąg ten jest zbieżny według miary do pewnej funkcji oraz funkcja spełnia warunek Lipschitza, to ciąg jest zbieżny według miary do
  • Przykłady[ | edytuj kod]

  • Funkcja dana wzorem
  • spełnia warunek Lipschitza ze stałą Rzeczywiście, dla zachodzi
  • Funkcja dana wzorem jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą warunek Lipschitza ze stałą
  • Funkcja dana wzorem nie spełnia warunku Lipschitza, bo nie jest jednostajnie ciągła.
  • Niech Funkcja dana wzorem spełnia warunek Lipschitza ze stałą gdy oraz ze stałą gdy
  • Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda–Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.


    Podstrony: [1] 2 [3]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie f {displaystyle f} z przestrzeni metrycznej ( X , ϱ X ) {displaystyle (X,varrho _{X})} w przestrzeń metryczną ( Y , ϱ Y ) {displaystyle (Y,varrho _{Y})} , dla którego istnieje stała rzeczywista α ∈ ( 0 , 1 ) {displaystyle alpha in (0,1)} taka, że dla dowolnych x 1 , x 2 ∈ X {displaystyle x_{1},x_{2}in X} zachodzi nierówność
    Twierdzenie Kirszbrauna – twierdzenie o rozszerzaniu funkcji lipchitzowskich na przestrzeniach Hilberta, udowodnione przez polskiego matematyka, Mojżesza D. Kirszbrauna w jego pracy magisterskiej obronionej w Warszawie w 1930. Poszerzona wersja jego pracy magisterskiej została opublikowana w Fundamenta Mathematicae.
    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
    Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące od różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919.
    Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej ( X , M ) {displaystyle scriptstyle (X,{mathfrak {M}})} „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary μ , {displaystyle scriptstyle mu ,} tzn. dowolny zbiór A ∈ M {displaystyle scriptstyle Ain {mathfrak {M}}} spełniający μ ( A ) = 0. {displaystyle scriptstyle mu (A)=0.} Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.
    Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (ur. 14 maja 1832 w Königsberg (Kaliningrad), zm. 7 października 1903 w Bonn) – niemiecki matematyk.
    Mutatis mutandis (łac. „zmieniając to, co powinno być zmienione; po dokonaniu niezbędnych zmian; z uwzględnieniem istniejących różnic”) – zwrot stosowany m.in. w ekonomii, filozofii, logice i naukach prawnych mający na celu zwrócenie uwagi, że rozważana sytuacja jest analogiczna do innej, przytaczanej jako przykład, o ile uwzględni się różnice wynikające z odmiennych warunków.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.918 sek.