Warunek Lipschitza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Dla funkcji spełniającej warunek Lipschitza istnieje podwójny stożek (biały), którego wierzchołek można przesuwać wzdłuż wykresu funkcji, a wnętrze pozostaje rozłączne z tym wykresem.

Warunek Lipschitza – pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji. Intuicyjnie można powiedzieć, że własność ta oznacza, że szybkość zmian wartości funkcji jest ograniczona. Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda–Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.

Definicja[ | edytuj kod]

Funkcja spełnia warunek Lipschitza ze stałą gdy dla dowolnych zachodzi nierówność

Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie f {displaystyle f} z przestrzeni metrycznej ( X , ϱ X ) {displaystyle (X,varrho _{X})} w przestrzeń metryczną ( Y , ϱ Y ) {displaystyle (Y,varrho _{Y})} , dla którego istnieje stała rzeczywista α ∈ ( 0 , 1 ) {displaystyle alpha in (0,1)} taka, że dla dowolnych x 1 , x 2 ∈ X {displaystyle x_{1},x_{2}in X} zachodzi nierównośćTwierdzenie Kirszbrauna – twierdzenie o rozszerzaniu funkcji lipchitzowskich na przestrzeniach Hilberta, udowodnione przez polskiego matematyka, Mojżesza D. Kirszbrauna w jego pracy magisterskiej obronionej w Warszawie w 1930. Poszerzona wersja jego pracy magisterskiej została opublikowana w Fundamenta Mathematicae.

Definicja ta naturalnie rozszerza się na funkcje określone pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.

Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące od różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919.

Niech będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja spełnia warunek Lipschitza ze stałą gdy dla dowolnych zachodzi nierówność

Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej ( X , M ) {displaystyle scriptstyle (X,{mathfrak {M}})} „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary μ , {displaystyle scriptstyle mu ,} tzn. dowolny zbiór A ∈ M {displaystyle scriptstyle Ain {mathfrak {M}}} spełniający μ ( A ) = 0. {displaystyle scriptstyle mu (A)=0.} Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (ur. 14 maja 1832 w Königsberg (Kaliningrad), zm. 7 października 1903 w Bonn) – niemiecki matematyk.

Najmniejszą liczba dla której powyższa nierówność zachodzi dla wszelkich (o ile istnieje) nazywana jest stałą Lipschitza funkcji Funkcje spełniające warunek Lipschitza ze stałą nazywane są kontrakcjami.

Mutatis mutandis (łac. „zmieniając to, co powinno być zmienione; po dokonaniu niezbędnych zmian; z uwzględnieniem istniejących różnic”) – zwrot stosowany m.in. w ekonomii, filozofii, logice i naukach prawnych mający na celu zwrócenie uwagi, że rozważana sytuacja jest analogiczna do innej, przytaczanej jako przykład, o ile uwzględni się różnice wynikające z odmiennych warunków.


Podstrony: 1 [2] [3]




Reklama