Twierdzenie o residuach

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o residuachtwierdzenie analizy zespolonej dostarczające metody obliczania wartości całek krzywoliniowych – konkretniej całek okrężnych – funkcji meromorficznych. Uogólnia ono twierdzenie Cauchy’ego (orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zeru). Twierdzenie o residuach umożliwia obliczenie niektórych bardziej złożonych całek rzeczywistych.

Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.Biblioteka Wirtualna Nauki – jedna z pierwszych w Polsce bibliotek cyfrowych. Jest to system udostępniania naukowych baz danych przez internet, prowadzony przez Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytetu Warszawskiego we współpracy z Biblioteką Uniwersytecką w Warszawie.

Twierdzenie[ | edytuj kod]

Ilustracja założeń twierdzenia

Niech będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej a ponadto oraz będzie funkcją holomorficzną.

Funkcja meromorficzna – funkcja f {displaystyle f} , określona na otwartym podzbiorze D {displaystyle D} płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze D ∖ S {displaystyle Dsetminus S} , gdzie S {displaystyle S;} oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji f {displaystyle f} .Całka krzywoliniowa – całka, w której całkowana funkcja przyjmuje wartości wzdłuż pewnej krzywej (regularnej). Gdy krzywa całkowania jest zamknięta, to całkę nazywa się niekiedy całką okrężną.

Jeżeli jest zamkniętą krzywą prostowalną zawartą w to

Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

Jeśli jest krzywą Jordana, to więc

Funkcja holomorficzna – główny obiekt badań analizy zespolonej; funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych C {displaystyle mathbb {C} } o wartościach w C {displaystyle mathbb {C} } , która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru.Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

Powyżej, oznacza residuum funkcji f w a to indeks punktu względem krzywej

Krzywa Jordana (albo łuk zwykły) – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie. Definicja ta jest w pewnym sensie równoważna następującej:Residuum (z łac. „reszta”, od neutr. residuus – pozostałość, od residēre – pozostawać) – pierwszy współczynnik części osobliwej w rozwinięciu danej funkcji holomorficznej w szereg Laurenta w ustalonym punkcie.

Zobacz też[ | edytuj kod]

  • wzór całkowy Cauchy’ego
  • Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 185–188, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.
  • Krzywa prostowalna - krzywa, dla której istnieje granica ciągu długości łamanych coraz bardziej ją przybliżających. Granica ta jest nazywana długością krzywej.




    Reklama