Twierdzenie Rademachera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące od różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919.

Warunek Lipschitza – pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji. Intuicyjnie można powiedzieć, że własność ta oznacza, że szybkość zmian wartości funkcji jest ograniczona. Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Twierdzenie[ | edytuj kod]

Jeżeli funkcja spełnia w zbiorze otwartym warunek Lipschitza ze stałą

to posiada różniczkę prawie wszędzie w

Uwagi[ | edytuj kod]

1) Oczywiście z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji rzeczywistej (o wartościach w zbiorze ) łatwo wnioskuje się, że jest ono prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni wektorowej Wynika to z faktu, że funkcja spełnia warunek Lipschita ⇔ każda składowa funkcji spełnia warunek Lipschitza.

2) W twierdzeniu wystarczy założyć tylko spełnianie lokalnego warunku Lipschitza. Stała nie musi być globalna dla całego zbioru

Przypisy[ | edytuj kod]

  1. Stanisław Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976, s. 160.
  2. William P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions', w: Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1989.




Reklama