Twierdzenie Orlicza-Pettisa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Orlicza-Pettisa – twierdzenie w analizie funkcjonalnej dotyczące zbieżności szeregów (Orlicz) lub, równoważnie, przeliczalnej addytywności miar wektorowych (Pettis) o wartościach w lokalnie wypukłych przestrzeniach liniowo-topologicznych.

Billy James Pettis (ur. 1913 - zm. 14 kwietnia 1979) - matematyk amerykański znany z dużego wkładu w rozwój analizy funkcjonalnej. Od nazwiska Pettisa pochodzą nazwy takich pojęć i twierdzeń jak:Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

Niech będzie lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną Hausdorffa. Szereg jest podszeregowo zbieżny, jeżeli każdy jego podszereg jest zbieżny.

Przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła – przestrzeń liniowo-topologiczna, która ma bazę lokalną złożoną ze zbiorów wypukłych. Ze względu na dobre własności jest to ważna klasa przestrzeni liniowo-topologicznych rozważanych w analizie funkcjonalnej.Andrzej Tadeusz Alexiewicz (ur. 11 lutego 1917 we Lwowie, zm. 11 lipca 1995) – polski matematyk, profesor Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza, doktor habilitowany, autor publikacji naukowych.
  • (i) Jeżeli szereg jest słabo podszeregowo zbieżny w (tzn. podszeregowo zbieżny w słabej topologii przestrzeni ), to jest (podszeregowo) zbieżny; albo równoważnie
  • (ii) Niech będzie σ-algebrą zbiorów i niech będzie addytywną funkcją zbioru. Jeżeli jest słabo przeliczalnie addytywna, to jest przeliczalnie addytywna (w oryginalnej topologii przestrzeni ).
  • W. Orlicz udowodnił przy założeniu, że X jest słabo ciągowo zupełną przestrzenią Banacha następujące Twierdzenie:

    Przestrzeń polska – ośrodkowa przestrzeń topologiczna, która jest metryzowalna w sposób zupełny. Przestrzenie polskie badane są w topologii ogólnej i opisowej teorii mnogości. Nazwa pojęcia powstała dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin.Joseph Diestel (ur. 27 stycznia, 1943, Westbury, NY, zm. 17 sierpnia 2017 w Kent (Ohio)) – amerykański matematyk zajmujący się teorią przestrzeni Banacha oraz miarami wektorowymi.

    Jeżeli szereg w przestrzeni jest słabo bezwarunkowo Cauchy’ego, tzn. dla każdego funkcjonału liniowego to szereg ten jest (normowo) zbieżny w

    Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).

    Po opublikowaniu pracy zauważył, że założenie słabej ciągowej zupełności przestrzeni potrzebne jest w dowodzie tylko po to, by umiejscowić granice szeregów, o których zakładał, iż są słabo bezwarunkowo Cauchy’ego. Wobec tego, zakładając istnienie tych granic, co oznacza założenie słabej podszeregowej zbieżności, ten sam dowód pokazuje (normową) zbieżność szeregu. Czyli pokazuje, że w dowolnej przestrzeni Banacha zachodzi wersja (i) twierdzenia Orlicza-Pettisa. W tej postaci twierdzenie, jako wynik Orlicza, przytoczone jest w monografii Banacha w jej ostatnim rozdziale Remarques (gdzie dowody nie są podawane). Pettis znał twierdzenie Orlicza z książki Banacha. Ponieważ wynik ten był mu potrzebny dla uzyskania identyczności miar mocno i słabo przeliczalnie addytywnych, podał jego dowód. Także Dunford podał swój dowód (zauważając jego podobieństwo do oryginalnego dowodu Orlicza).

    Władysław Orlicz (ur. 24 maja 1903 w Okocimiu, zm. 9 sierpnia 1990 w Poznaniu) – polski matematyk należący do tzw. lwowskiej szkoły matematycznej. Pracował jako profesor Uniwersytetu Poznańskiego. Jego prace dotyczą głównie analizy funkcjonalnej i szeregów ortogonalnych. Do jego najważniejszych osiągnięć należy opracowanie teorii pewnego typu przestrzeni funkcyjnych (przestrzenie Orlicza i Musielaka-Orlicza). Udowodnił twierdzenie w teorii przestrzeni Banacha nazywane dziś twierdzeniem Orlicza-Pettisa.Transactions of the American Mathematical Society - czasopismo naukowe o tematyce matematycznej (miesięcznik) wydawane przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne od 1900 roku. Artykuły zamieszczane w czasopiśmie muszą być nie krótsze niż 15 stron. Czasopismo znajduje się na tzw. liście filadelfijskiej.

    Bardziej szczegółową analizę historyczną dotyczącą początków tw. Orlicza-Pettisa znaleźć można w. Zobacz także przypis dolny (nr 5) samego Orlicza w, komentarz na str. 284 w uwagach historycznych monografii Alexiewicza oraz uwagę na końcu Section 2.4 w 2. wydaniu książki Albiaca i Kaltona (obie książki w bibliografii poniżej).

    Grothendieck w otrzymał twierdzenie, którego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Orlicza-Pettisa dla przestrzeni lokalnie wypukłej. Później bezpośrednie dowody wersji (i) twierdzenia w przypadku lokalnie wypukłym podali McArthur oraz Robertson. Nazwa twierdzenia jako ‘Orlicz-Pettis Theorem’ przyjęła się ze względu na wagę twierdzenia w sformułowaniu (ii) dla teorii miar wektorowych, w której to formie twierdzenie pierwszy podał Pettis. Sam Pettis i Grothendieck mówią jeszcze o twierdzeniu Orlicza.

    Twierdzenia typu Orlicza-Pettisa[ | edytuj kod]

    Twierdzenie Orlicza-Pettisa było wielokrotnie uogólniane i wzmacniane. Pojęcie podszeregowej zbieżności, przy tej samej definicji, ma sens zastępując przestrzeń lokalnie wypukłą przez topologiczną grupę abelową Na dane są dwie topologie grupowe Hausdorffa takie, że jest słabsza niż tzn. Przy jakich założeniach -podszeregowa zbieżność pociąga -podszeregową zbieżność? Wczesnym przeglądem badań w tym kierunku jest artykuł Kaltona. Jako wynik znamienny, Kalton przytacza ‘Graves-Labuda-Pachl Theorem’.

    Twierdzenie. Niech abelowa grupa topologiczna będzie ciągowo zupełna i taka, że identyczność jest uniwersalnie mierzalna. Wtedy podszeregowa zbieżność w sensie i jest równoważna.

    Jako wniosek, gdy grupa jest ciągowo zupełna i K-analityczna, teza twierdzenia obowiązuje dla każdej hausdorffowej topologii słabszej niż Wynik ten uogólnia analogiczne twierdzenie dla ciągowo zupełnej analitycznej grupy (w oryginalnym sformułowaniu twierdzenia Andersena-Christensena brakuje założenia ciągowej zupełności) oraz odpowiednie twierdzenie Kaltona dla grupy polskiej, które tę serię wyników zapoczątkowało.

    Ograniczenia na tego rodzaju wyniki podają przykłady ‘gwiazdka słabej’ topologii dla przestrzeni Banacha oraz przykłady F- przestrzeni z separującą przestrzenią dualną takie, że słaba (tzn. ) podszeregowa zbieżność nie pociąga podszeregowej zbieżności w sensie F-normy przestrzeni .

    Przypisy[ | edytuj kod]

    1. W. Orlicz, Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II, „Studia Math.1 (1929), s. 241–255.
    2. Théorie des opérations linéaires, Monografje matematyczne, Warszawa 1932; Oeuvres. Vol. II}, PWN, Warszawa 1979.
    3. B.J. Pettis, On integration in vector spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.44 (1938), s. 277–304.
    4. N. Dunford, Uniformity in linear spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.44 (1938), s. 305–356.
    5. W. Filter and I. Labuda, [1], Essays on the Orlicz-Petts theorem, I (The two theorems), „Real Analysis Exchange” 16(2), 1990–1991, s. 393–403.
    6. W. Orlicz, O szeregach doskonale zbieżnych w pewnych przestrzeniach funkcyjnych, „Commentationes Math. (Prace Mat.)” 1 (1955), s. 393–414.
    7. A. Grothendieck, Sur les applications linéaires faiblement compacts d’espaces du type C(K), „Canadian J. Math.” 3 (1953), s. 129–173.
    8. C.W. McArthur On a theorem of Orlicz and Pettis, „Pacific J. Math.” 22 (1967), s. 297–302.
    9. A.P. Robertson, On unconditional convergence in topological vector spaces, „Proc. Roy. Soc. Edinburgh A”, 68 (1969), s. 145–157.
    10. Nigel Kalton, The Orlicz-Pettis theorem, „Contemporary Mathematics” 2 (1980), s. 91–100.
    11. I. Labuda, [2] Universal measurability and summable families in topological vector spaces, „Indag. Math. (N.S.)” 82(1979), s. 27–34.
    12. J.K. Pachl, A note on the Orlicz-Pettis Theorem, [3] „Indag. Math. (N.S.)” 82 (1979), s. 35-37.
    13. W.H. Graves, [4] Universal Lusin measurability and subfamily summable families in Abelian topological groups, „Proc. Amer. Math. Soc.”, 73 (1979), s. 45–50.
    14. N.J.M. Andersen, J.P.R. Christensen, Some results on Borel structures with applications to subseries convergence in Abelian topological groups, „Israel J. Math.” 15 (1973), s. 414–420.
    15. I. Labuda [5], Measure, Category and Convergent Series, „Real Anal. Exchange”, 32(2) (2017), s. 411–428.
    16. N.J. Kalton, [6] Subseries convergence in topological groups and vector measures, „Israel J. Math.” 10 (1971), s. 402–412.
    17. M. Nawrocki, [7] On the Orlicz-Pettis property in non-locally convex F-spaces, „Proc. Amer. Math. Soc.” 101(1987), s. 492–496.
    18. M. Nawrocki, [8] The Orlicz-Pettis theorem fails for Lumer’s Hardy spaces „Proc. Amer. Math. Soc.”, 109 (1990), s. 957–963.

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach space theory. Wyd. 2. Springer, 2016. ISBN 978-3-319-31555-3.
  • Andrzej Alexiewicz: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
  • Joe Diestel, Jerry Uhl, Jr.: Vector measures. Providence, R.I: American Mathematical Society, 1977, s. 22–23. ISBN 0-8218-1515-6.




  • Reklama