Twierdzenie Hahna-Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Mark Grigorjewicz Krejn (ros. Марк Григорьевич Крейн; ur. 3 kwietnia 1907 w Kijowie, zm. 17 października 1989 w Odessie) – radziecki matematyk pochodzenia żydowskiego. Jest znany ze względu na swój wkład w rozwój metod analizy funkcjonalnej, a dokładniej teorii operatorów, związanych z konkretnymi problemami fizyki matematycznej, szczególnie równań różniczkowych i modów normalnych.Twierdzenie Krejna-Milmana – twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane w 1940 roku przez ukraińskich matematyków Marka Krejna i Dawida Milmana. Przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla:

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Twierdzenie[ | edytuj kod]

Niech (a) będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych (b) będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn. dla wszystkich dla wszystkich i (c) będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni (d) będzie takim odwzorowaniem liniowym, że dla wszystkich

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy że

William Arveson (ur. 22 listopada 1934 w Oakland w stanie Kalifornia, zm. 15 listopada 2011) – amerykański matematyk, który specjalizował się w teorii algebr operatorów (zob. C*-algebra, algebra Banacha). Pracował jako profesor na University of California w Berkeley. W 1964 doktoryzował się na University of California w Los Angeles. Autor podręczników akademickich:Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

dla wszystkich oraz

dla wszelkich

Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.Twierdzenia o oddzielaniu - twierdzenia w analizie funkcjonalnej mówiące o oddzielaniu podzbiorów przestrzeni liniowo-topologicznych poprzez ciągłe funkcjonały liniowe.

Uwagi o dowodzie[ | edytuj kod]

  • Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne).
  • Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego, więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
  • Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.
  • Twierdzenie Carathéodory’ego – twierdzenie teorii miary umożliwiające konstrukcję miary w oparciu o daną miarę zewnętrzną; bywa ono stosowane do konstrukcji miarę Lebesgue’a z miary zewnętrznej Lebesgue’a. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Constantina Carathéodory’ego w 1914 roku.Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Warto wiedzieć że... beta

    Granica Banacha – liniowy i ciągły funkcjonał na przestrzeni ℓ ∞ {displaystyle ell ^{infty }} wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych z normą supremum, naśladujący własności operacji brania granicy ciągu zbieżnego. W szczególności, granica Banacha ciągu zbieżnego jest równa jego granicy w zwykłym sensie. Dla dowodu istnienia granic Banacha potrzebne jest twierdzenie Hahna-Banacha (a więc pewna forma aksjomatu wyboru), stąd charakter tego pojęcia jest wyłącznie egzystencjonalny - granicy Banacha nie można skonstruować krok po kroku. Użycie w dowodzie istnienia granicy Banacha twierdzenia Hahna-Banacha nie mówi nic o jednoznaczności istnienia funkcjonału o takich własnościach. Co więcej, każdemu ultrafiltrowi wolnemu w algebrze potęgowej P ( ω ) {displaystyle {mathcal {P}}(omega )} odpowiada dokładnie jedna granica Banacha.
    Stefan Banach (ur. 30 marca 1892 w Krakowie, zm. 31 sierpnia 1945 we Lwowie) – polski matematyk, jeden z przedstawicieli lwowskiej szkoły matematycznej.
    W teorii mnogości, indukcja pozaskończona to rozszerzenie indukcji matematycznej na zbiory dobrze uporządkowane, czy też nawet na klasę liczb porządkowych.
    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
    Hans Hahn (ur. 27 września 1879 w Wiedniu, zm. 24 lipca 1934 tamże) – matematyk austriacki, włożył istotny wkład w rozwój topologii, analizy funkcjonalnej, analizy rzeczywistej i rachunku wariacyjnego.
    Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.
    Zasada wyborów zależnych (także DC od ang. dependent choice) – konsekwencja aksjomatu wyboru, która bywa często przyjmowana za dodatkowy aksjomat (istotnie słabszy od aksjomatu wyboru) do aksjomatyki Zermelo-Fraenkla (ZF). Dokładniej, DC to zdanie:

    Reklama