Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym – twierdzenie podające warunek wystarczający na to, by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.

Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.Stefan Banach (ur. 30 marca 1892 w Krakowie, zm. 31 sierpnia 1945 we Lwowie) – polski matematyk, jeden z przedstawicieli lwowskiej szkoły matematycznej.

Szczególny przypadek tego twierdzenia zwany jest twierdzeniem Banacha-Schaudera, a jednym z wniosków z tego twierdzenia jest twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.

Twierdzenie[ | edytuj kod]

Niech będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi oraz będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli jest F-przestrzenią oraz jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni to jest odwzorowaniem otwartym, oraz jest F-przestrzenią.

Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzoremFunkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.

Wnioski[ | edytuj kod]

Niech będą F-przestrzeniami oraz będzie operatorem liniowym i ciągłym.

Walter Rudin (ur. 2 maja 1921 w Wiedniu, zm. 20 maja 2010) – amerykański matematyk związany z Uniwersytetem Wisconsin–Madison. W topologii zbiór nazywamy zbiorem pierwszej kategorii (czasami zbiorem mizernym), jeżeli można go przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.
  • Twierdzenie Banacha-Schaudera
  • Jeśli to jest odwzorowaniem otwartym.
  • Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym
  • Jeżeli oraz jest odwzorowaniem różnowartościowym, to jest ciągłe.
  • Jeżeli i są przestrzeniami Banacha oraz jest bijekcją, to istnieją takie dodatnie stałe rzeczywiste że
  • dla każdego
  • Warunek wystarczający na równoważność norm zupełnych
  • Jeżeli są przestrzeniami Banacha oraz dla każdego ciągu punktów przestrzeni spełniony jest warunek to normy i są równoważne.
  • Jeżeli są F-przestrzeniami oraz to
  • Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.




  • Reklama