Transformacja falkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Transformacja falkowa – przekształcenie podobne do transformacji Fouriera. Oba przekształcenia opierają się na wykorzystaniu operacji iloczynu skalarnego badanego sygnału s(t) i pozostałej części, zwanej "jądrem przekształcenia”. Główna różnica między tymi przekształceniami to właśnie owo jądro.

Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.Falki (z ang. wavelet) – rodziny funkcji zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, z których każda jest wyprowadzona z funkcji-matki (z tzw. funkcji macierzystej) za pomocą przesunięcia i skalowania:

Wstęp[ | edytuj kod]

Transformacja Fouriera jako jądro wykorzystuje funkcje sinusoidalne, czyli każda funkcja reprezentuje stale jedną wybraną częstotliwość. W przypadku transformacji falkowej jądrem jest funkcja (zwana falką) spełniająca wymagania analizy czasowo-częstotliwościowej. Widmowa analiza falek pokazuje, że zawierają one częstotliwości należące do pewnego pasma (ściśle w przypadku falek Mayera lub tylko praktycznie jak w przypadku falek Daubechies). Istnieje nieskończenie wiele falek, zatem jest nieskończenie wiele transformacji falkowych w odróżnieniu od jednoznacznie zdefiniowanego jądra transformacji Fouriera. Jądro transformacji falkowej na ogół jest oznaczane literą Ψ. Jądro to jest zarówno funkcją czasu t jak i parametru skali a oraz parametru przesunięcia b. Parametr a przesuwa widmo falki w dziedzinie częstotliwości a parametr b przesuwa falkę w dziedzinie czasu. Dzięki temu możliwa jest analiza czaso-zmiennego rozkładu częstotliwości.

Transformata – wynik przekształcenia operandu pod wpływem działania operatora. Innymi słowy, transformatą nazywa się wynik działania transformacji (zob. szybka transformacja Fouriera). Powstanie falek Coiflet było wynikiem próby wyeliminowania nieliniowego przesunięcia fazowego pomiędzy sygnałami wejściowym i wyjściowym filtru. Falki te charakteryzują się stosunkowo niewielką asymetrią, co jednak zostało okupione zwiększeniem szerokości nośnika.

Klasyczna transformacja Fouriera zapewnia idealną lokalizację w dziedzinie częstotliwości, ale brakuje lokalizacji w dziedzinie czasu. Wynika to z własności funkcji sinus i kosinus. Ich nośniki w dziedzinie częstotliwości są punktami, a w dziedzinie czasu są nieograniczone. Ponieważ nośniki falek jak i ich widm nie są punktowe, analiza przy pomocy transformacji falkowej nie posiada idealnej rozdzielczości, ani w dziedzinie czasu, ani w dziedzinie częstotliwości. Dzieje się tak dlatego, że jądro przekształcenia (czyli funkcja Ψ) nie reprezentuje nieskończenie wąskiego przedziału. Nośnik falki może być zwarty w dziedzinie czasu (np. dla falek Daubechies), albo jeśli tej własności nie posiada, to wartości falki są znikomo małe poza pewnym skończonym przedziałem czasu. W pierwszym przypadku, zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, widmo co prawda ma nośnik nieograniczony, ale wartości widma poza pewnym przedziałem w dziedzinie częstotliwości są tak małe, że można uznać je za pomijalne w analizie częstotliwościowej. W drugim przypadku widmo może mieć nośnik zwarty (np. falki Meyera) albo wartości widma można uznać za pomijanie małe, poza pewnym przedziałem częstotliwości. Transformacja falkowa służy więc do analizy sygnałów niestacjonarnych, ponieważ dostarcza informacji o czasowo-częstotliwościowych zmianach sygnałów. Jest alternatywnym narzędziem do krótko-czasowej transformacji Fouriera.

Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.


Podstrony: 1 [2] [3] [4]




Reklama