Teoria perturbacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Teoria perturbacji (rachunek zaburzeń) – zbiór metod matematycznych, używanych do znalezienia przybliżonego rozwiązania problemu, który nie może być rozwiązany w sposób ścisły, dostarczając bezpośrednie rozwiązanie problemu. Teoria perturbacji może być zastosowana do rozwiązania problemu, gdy można go przedstawić jako część dającą bezpośrednie rozwiązanie i stosunkowo mały człon zaburzający.

Chaos deterministyczny - w matematyce i fizyce, własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne.Richard Phillips Feynman [ˈɹɪtʃɝd ˈfɪlɪps ˈfaɪnmən] (ur. 11 maja 1918 w Nowym Jorku, zm. 15 lutego 1988 w Los Angeles) – amerykański fizyk teoretyk; uznany w 1999 roku za jednego z dziesięciu najlepszych fizyków wszech czasów .

Teoria perturbacji dąży do przedstawienia rozwiązania danego problemu za pomocą szeregu potęgowego z niewielkim parametrem określającym odchylenie (zaburzenie) od dokładnie rozwiązywalnego problemu. Odchylenie to oznaczane jest często przez Pierwszy człon tego szeregu jest rozwiązaniem rozwiązywalnego (niezaburzonego) problemu, podczas gdy dalsze człony szeregu opisują odchylenie od ściśle rozwiązywalnego problemu. Formalnie, dla opisania aproksymacji rozwiązania pełnego problemu używany formuły:

Analiza numeryczna to zbiorcza nazwa wszystkich działów matematyki, które zajmują się badaniem struktur ciągłych, to znaczy zawierających zbiory nieprzeliczalne, której głównym zadaniem jest badanie możliwości realizacji obliczeń przybliżonych, oraz analiza powstałych na skutek zaokrąglenia błędów.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

w tym wyrażeniu, jest dokładnym rozwiązaniem problemu niezaburzonego (pozbawionego odchylenia, a jednocześnie dokładnie rozwiązywalnego), natomiast reprezentują kolejne człony opisujące zaburzenie. Dla małych wartości czynniki coraz wyższych rzędów stają się zaniedbywane.

Tor ruchu (trajektoria) – w kinematyce krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało. Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało wynosi 0, wówczas z I zasady dynamiki Newtona wynika, że ciało porusza się po torze prostoliniowym. Jeżeli na poruszające się ciało działa niezrównoważona siła, której kierunek nie jest styczny do toru ruchu, wówczas tor ruchu jest krzywoliniowy.Księżyc (łac. Luna, gr. Σελήνη Selḗnē; pol. fraz. „Srebrny Glob”, „srebrny glob”; pol. przest. gw. poet. „miesiąc”; pol. przest. poet. „luna”) – jedyny naturalny satelita Ziemi (nie licząc tzw. księżyców Kordylewskiego, które są obiektami pyłowymi i przez niektórych badaczy uważane za obiekty przejściowe). Jest piątym co do wielkości księżycem w Układzie Słonecznym. Przeciętna odległość od środka Ziemi do środka Księżyca to 384 403 km, co stanowi mniej więcej trzydziestokrotność średnicy ziemskiej. Średnica Księżyca wynosi 3474 km, nieco więcej niż 1/4 średnicy Ziemi. Oznacza to, że objętość Księżyca wynosi około 1/50 objętości kuli ziemskiej. Przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni jest blisko 6 razy słabsze niż na Ziemi. Księżyc wykonuje pełny obieg wokół Ziemi w ciągu 27,3 dnia (tzw. miesiąc syderyczny), a okresowe zmiany w geometrii układu Ziemia-Księżyc-Słońce powodują występowanie powtarzających się w cyklu 29,5-dniowym (tzw. miesiąc synodyczny) faz Księżyca.

Opis ogólny[ | edytuj kod]

Teoria perturbacji jest silnie związana z metodami używanymi w analizie numerycznej. Wcześniejsze zastosowania tego, co teraz nazywamy teorią perturbacji dotyczyły nierozwiązywalnych problemów matematycznych mechaniki nieba: rozwiązanie Newtona dla orbity Księżyca, który porusza się zauważalnie inaczej, niż według praw Keplera z powodu zaburzającego wpływu grawitacji Ziemi i Słońca.

Orbita Księżyca – trajektoria, po której Księżyc porusza się wokół Ziemi; przebycie jej w całości zajmuje mu około 27,3 dnia. Księżyc i Ziemia krążą wokół barycentrum - wspólnego środka masy, leżącego w średniej odległości ok. 4675 km od środka Ziemi (w mniej więcej ¾ jej promienia). Dla porównania, odległość barycentrum od Księżyca wynosi średnio około 380 070 km (ok. 60 promieni ziemskich). Ze średnią prędkością ruchu Księżyca po orbicie wynoszącą 1,023 km/s, przemieszcza się on co godzinę o odległość kątową równą jego względnemu rozmiarowi, czyli o około 0,5°. Cechą wyróżniającą Księżyc spośród innych naturalnych satelitów planet Układu Słonecznego jest fakt, iż płaszczyzna jego orbity jest bardzo zbliżona do płaszczyzny ekliptyki, nie zaś - jak zazwyczaj - do płaszczyzny równikowej planety. Nachylenie płaszczyzny orbity księżycowej do płaszczyzny ekliptyki wynosi 5,1°, podczas gdy inklinacja osi obrotu Księżyca - jedynie 1,5°.Problem n ciał / problem wielu ciał – zagadnienie mechaniki klasycznej polegające na wyznaczeniu toru ruchów wszystkich ciał danego układu n ciał o danych masach, prędkościach i położeniach początkowych w oparciu o prawa ruchu i założenie, że ciała oddziałują ze sobą zgodnie z prawem grawitacji Newtona.

Metody perturbacyjne rozpoczynają się od uproszczonej formy oryginalnego problemu, którą można dokładnie obliczyć. W mechanice nieba są to zazwyczaj prawa Keplera. W nierelatywistycznej teorii grawitacji, elipsa Keplera jest dokładna wtedy, gdy mamy dokładnie dwa oddziałujące grawitacyjnie ciała (powiedzmy – Ziemia i Księżyc), ale traci dokładność, gdy pojawiają się trzy i więcej (powiedzmy – Ziemia, Księżyc, Słońce i reszta Układu Słonecznego).

Władimir Igoriewicz Arnold, ros. Влади́мир И́горевич Арно́льд (ur. 12 czerwca 1937 w Odessie, zm. 3 czerwca 2010 w Paryżu) – rosyjski matematyk, profesor Instytutu Stiekłowa w Moskwie i Uniwersytetu w Paryżu IX. Znany z prac w teorii katastrof, geometrii algebraicznej, mechaniki klasycznej i topologii. Laureat wielu nagród, m.in. Nagrody Leninowskiej (1965) i Nagrody Wolfa w matematyce (2001).Efekt Zeemana – zjawisko fizyczne, które polega na rozszczepieniu obserwowanych linii spektralnych na składowe, gdy próbka emitująca promieniowanie zostaje umieszczona w polu magnetycznym.

Rozwiązany, ale uproszczony problem jest następnie zaburzany (perturbowany), aby stworzyć warunki, które zbliżą zaburzony wynik do prawdziwego, jak np. uwzględnienie grawitacji trzeciego ciała (np. Słońca). „Warunki” są formułą (lub wieloma), które reprezentują rzeczywistość, często coś wynikającego z praw fizycznych, jak drugie prawo dynamiki Newtona:

Geometria nieprzemienna to dział matematyki, badający przestrzenie topologiczne, w których istnieje co najmniej jedna nieprzemienna para funkcji (ściśle: dystrybucji) ciągłych. Cechą charakterystyczną przestrzeni nieprzemiennych jest nieistnienie pojęcia punktu przestrzeni. Funkcje można badać tylko na dostatecznie dużym obszarze.Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.

W tym konkretnym przypadku, siła F jest obliczana z oddziałujących grawitacyjnie ciał, a przyspieszenie a jest otrzymywane z drogi Księżyca na jego orbicie. Obydwie wielkości są w dwóch formach: przybliżona wartość siły i przyspieszenia, co wynika z uproszczenia, oraz hipotetyczna stałość, która pozwala obliczyć wynik.

Mechanika nieba – dział astronomii zajmujący się badaniem i formułowaniem matematycznej teorii ruchu ciał niebieskich.Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.

Niewielkie zmiany wyniku z nagromadzenia perturbacji, które same w sobie mogą być ponownie uproszczone, służą jako korekta do przybliżonego rozwiązania. Z powodu upraszczania wprowadzanego na każdym kroku procedury, korekcja nigdy nie jest doskonała, a warunki spełniane przez poprawione rozwiązanie nie pasują dokładnie do rzeczywistości. Aczkolwiek nawet jeden cykl korekcji często prowadzi do dobrego przybliżenia wyniku.

Chemia kwantowa - dziedzina z pogranicza fizyki i chemii, która stosuje mechanikę kwantową i kwantową teorie pola do opisu atomowych i molekularnych układów będących przedmiotem zainteresowania chemii.Efekt Starka – zjawisko fizyczne polegające na rozszczepieniu oraz przesunięciu linii spektralnych atomu lub cząsteczki wysyłających lub absorbujących kwanty świetlne wywołane oddziaływaniem pola elektrycznego. Efekt został odkryty i opisany w 1913 roku przez Johannesa Starka za co został w 1919 uhonorowany Nagrodą Nobla.

Nie ma powodów do zatrzymywania się na jednym cyklu poprawek. Częściowo poprawione rozwiązanie może być ponownie użyte jako nowy punkt startowy do perturbacji i poprawiania. Z zasady, cykle znajdowania ciągle lepszego rozwiązania powinny trwać w nieskończoność. W praktyce, zwykle zatrzymuje się po jednym lub dwóch cyklach. Komplikacją tej metody jest fakt, że poprawki powodują dużą komplikację nowego rozwiązania, więc każdy kolejny cykl jest coraz trudniejszy do wykonania. Izaak Newton powiedział, w nawiązaniu do problemu orbity Księżyca, że „przyprawia mnie to o ból głowy”.

Równanie algebraiczne – równanie w postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n jednej lub wielu zmiennych (n ≥ 0). Więc równanie algebraiczne jednej zmiennej to równanie w postaciOscylator harmoniczny – układ drgający, poddany działaniu sił sprężystych tj. sił proporcjonalnych do przemieszczenia r {displaystyle r} układu od położenia równowagi:

Ta ogólna procedura jest szeroko stosowanym w zaawansowanej nauce i inżynierii narzędziem matematycznym: rozpocząć z uproszczonym problemem i stopniowo dodawać poprawki, które przybliżają formułę do rzeczywistości. Jest to naturalne rozszerzenie do metody funkcji matematycznych: „zgadnij, sprawdź, popraw”, używanej w starszych cywilizacjach do obliczania konkretnych liczb, jak pierwiastki kwadratowe.

Równanie Kortewega-de Vries – nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe opisujące ruch fali w płytkiej wodzie w długim kanale, jak następuje:Andriej Nikołajewicz Kołmogorow, ros. Андре́й Никола́евич Колмого́ров (ur. 25 kwietnia 1903, zm. 20 października 1987) – rosyjski matematyk, twórca współczesnej teorii prawdopodobieństwa. Pracował nad rozwojem topologii, logiki i teorii złożoności obliczeniowej, znany jest również z wyników w analizie harmonicznej i mechanice klasycznej - w szczególności w badaniach turbulencji. Laureat wielu nagród, m.in. Nagrody Wolfa w matematyce w 1980.


Podstrony: 1 [2] [3]




Warto wiedzieć że... beta

Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
Model budowy atomu Bohra – model atomu wodoru autorstwa Nielsa Bohra. Bohr przyjął wprowadzony przez Ernesta Rutherforda model atomu, według tego modelu elektron krąży wokół jądra jako naładowany punkt materialny, przyciągany przez jądro siłami elektrostatycznymi. Przez analogię do ruchu planet wokół Słońca model ten nazwano "modelem planetarnym atomu".
Układ Słoneczny – układ planetarny składający się ze Słońca i powiązanych z nim grawitacyjnie ciał niebieskich. Ciała te to osiem planet, ponad 160 znanych księżyców planet, pięć znanych (a prawdopodobnie kilkadziesiąt) planet karłowatych i miliardy (a być może nawet biliony) małych ciał Układu Słonecznego, do których zalicza się planetoidy, komety, meteoroidy i pył międzyplanetarny.
Ziemia (łac. Terra) − trzecia, licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu Słonecznego.
Słońce (łac. Sol, Helius, gr. Ἥλιος Hḗlios) – gwiazda centralna Układu Słonecznego, wokół której krąży Ziemia, inne planety tego układu, planety karłowate oraz małe ciała Układu Słonecznego. Słońce to najjaśniejszy obiekt na niebie i główne źródło energii docierającej do Ziemi.
Kinematyczne równanie ruchu to pewna zależność (bądź układ zależności), określająca położenie ciała w przestrzeni w funkcji czasu.
Efekt motyla (ang. butterfly effect) – anegdotyczne przedstawienie chaosu deterministycznego. W tytułowej anegdocie trzepot skrzydeł motyla, np. w Ohio, może po trzech dniach spowodować w Teksasie burzę piaskową. Przykładami efektu motyla są zjawiska meteorologiczne.

Reklama