Teoria miary

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Teoria miary (zwana też teorią miary i całki) - dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).3blue1brown – kanał na YouTube poświęcony matematyce, prowadzony przez Granta Sandersona, którego celem jest przedstawienie pojęć matematycznych w sposób wizualny.

Za początek tej dziedziny uważa się rok 1902, gdy Henri Lebesgue podał konstrukcję całki opartej na rozszerzeniu dotychczas stosowanego pojęcia miary.

Najczęściej mierzy się podzbiory przestrzeni euklidesowych. Jednak niektórym „nieporządnym” podzbiorom przestrzeni euklidesowych (czy innych) nie można przypisać "miary" (tj. wielkości liczbowych) w spójny sposób. Klasycznym przykładem jest tzw. zbiór Vitalego. Dlatego przyjęto, iż miara musi być ograniczona do podzbiorów „porządnych”, tj. należących do tzw. przestrzeni mierzalnej określonej na danej przestrzeni. (Jeśli dana przestrzeń jest przestrzenią topologiczną, to zwykle wymaga się, by mierzalne były zbiory otwarte; wówczas do zbiorów mierzalnych należą m.in. zbiory borelowskie.)

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).Intuicyjnie, zdarzenie losowe to pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu. Może to być zarówno zbiór składający się z pojedynczego wyniku, jak i zbiór złożony z większej ilości elementów. Zdarzenia losowe rozważa się w rachunku prawdopodobieństwa.

Rozwój teorii miary pozostaje w ścisłym związku z rozwojem rachunku prawdopodobieństwa: w 1933 r.Kołmogorow sformułował aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa, zastępując klasyczną definicję Laplace'a i definicję częstościową Misesa (zob. prawdopodobieństwo). W interpretacji Kołmogorowa zdarzenia losowe są podzbiorami pewnej przestrzeni probabilistycznej, a prawdopodobieństwo jest miarą określoną na tej przestrzeni (miarą prawdopodobieństwa).

Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.Przestrzeń probabilistyczna – struktura umożliwiająca modelowanie doświadczenia losowego poprzez wskazanie zdarzeń losowych i przypisanie im prawdopodobieństwa.

Zobacz też[ | edytuj kod]

  • algebra Boole’a
  • Linki zewnętrzne[ | edytuj kod]

  • Grant Sanderson, Music And Measure Theory, 3blue1brown, YouTube, 4 października 2015 [dostęp 2021-03-14].




  • Warto wiedzieć że... beta

    Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.
    Prawdopodobieństwo – ogólne określenie jednego z wielu pojęć służących modelowaniu doświadczenia losowego poprzez przypisanie poszczególnym zdarzeniom losowym liczb, zwykle z przedziału jednostkowego (w zastosowaniach często wyrażanych procentowo), wskazujących szanse ich zajścia. W rozumieniu potocznym wyraz „prawdopodobieństwo” odnosi się do oczekiwania względem rezultatu zdarzenia, którego wynik nie jest znany (niezależnie od tego, czy jest ono w jakimś sensie zdeterminowane, miało miejsce w przeszłości, czy dopiero się wydarzy); w ogólności należy je rozumieć jako pewną miarę nieprzewidywalności.
    Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.
    Henri Léon Lebesgue (ur. 28 czerwca 1875 w Beauvais, zm. 26 lipca 1941 w Paryżu) – francuski matematyk. Twórca nowoczesnego ujęcia teorii miary i całki, zwanej na jego cześć całką Lebesgue’a. Prowadził również badania w teorii szeregów Fouriera i topologii – jedno z podstawowych pojęć teorii wymiaru nosi dziś nazwę wymiaru Lebesgue’a.
    YouTube – serwis internetowy, stworzony w lutym roku 2005, który umożliwia bezpłatne umieszczanie, oglądanie filmów oraz live streaming. Używa technologii FLV do wyświetlania szerokiego wyboru filmów zamieszczonych przez użytkowników (tzw. user-generated content), takich jak zwiastuny filmowe lub telewizyjne, teledyski, jak i dzieła amatorskie: wideoblogi i krótkie własne filmy. Większość materiałów została załadowana na YouTube przez prywatne osoby, ale wiele firm (na przykład Columbia Broadcasting System, BBC, Universal Music Group, w Polsce Polska Agencja Prasowa, Grupa TVN, CD Projekt), różne instytucje i organizacje oferują część swoich materiałów przez YouTube jako część programu partnerskiego.
    Andriej Nikołajewicz Kołmogorow, ros. Андре́й Никола́евич Колмого́ров (ur. 25 kwietnia 1903, zm. 20 października 1987) – rosyjski matematyk, twórca współczesnej teorii prawdopodobieństwa. Pracował nad rozwojem topologii, logiki i teorii złożoności obliczeniowej, znany jest również z wyników w analizie harmonicznej i mechanice klasycznej - w szczególności w badaniach turbulencji. Laureat wielu nagród, m.in. Nagrody Wolfa w matematyce w 1980.
    Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych (bądź zwartych) tej przestrzeni. Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela, który pierwszy badał te zbiory i ich zastosowania.

    Reklama