Teoria kategorii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Teoria kategorii – dział matematyki zapoczątkowany w 1945 przez polskiego matematyka Samuela Eilenberga i Amerykanina Saundersa Mac Lane’a. Pewne idee teorii kategorii dojrzewały wcześniej u różnych autorów, głównie w kontekście topologii algebraicznej, pojawiło się m.in. oznaczanie funkcji symbolem Dużą rolę w tych zmianach odegrał polski topolog Witold Hurewicz.

Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T3½ i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania. Dokładniej, mówi się, że przestrzeni topologicznej X {displaystyle X} punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśliPrzekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

Na teorię kategorii można patrzeć rozmaicie. Można uważać ją za wyraźnie określoną teorię matematyczną, mającą swoje pojęcia pierwotne, aksjomaty, definicje, twierdzenia, dowody i bardzo ważne zastosowania w wielu innych działach matematyki, zwłaszcza w algebrze homologicznej, topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej, a także w teorii języków programowania.

Algebra Boole’a – algebra ogólna stosowana w matematyce, informatyce teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska matematyka, filozofa i logika George’a Boole’a. Teoria algebr Boole’a jest działem matematyki na pograniczu teorii częściowego porządku, algebry, logiki matematycznej i topologii.Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

Można też podejść do teorii kategorii inaczej: jako do pewnej ogólnej metody ujmowania teorii matematycznych, mającej wiele cech algebry, unifikującej – nieraz w nieoczekiwany sposób – pojęcia z różnych dziedzin, konkurującej z podejściem mnogościowym.

Punktem wyjścia teorii mnogości są pojęcia: element, zbiór i przynależenie Punktem zaś wyjścia teorii kategorii są wyidealizowane funkcje (odwzorowania), zwane morfizmami lub strzałkami, ich składanie i odwracanie, a same elementy (argumenty bądź wartości funkcji) odgrywają rolę drugorzędną (lub nieraz wcale ich nie ma). Jedną z cech kategoryjnego podejścia jest specyficzne stosowanie diagramów przemiennych.

Definicja (z łac. definitio; od czas. definire: de + finire, "do końca, granicy"; od finis: granica, koniec) – wypowiedź o określonej budowie, w której informuje się o znaczeniu pewnego wyrażenia przez wskazanie innego wyrażenia należącego do danego języka i posiadającego to samo znaczenie.Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

Teoria kategorii może też służyć jako podstawa, w której ramach da się zrekonstruować teorię mnogości i tym samym też niemal całą matematykę; ponadto można użyć środków teorii kategorii do badania logicznych aspektów pewnych teorii matematycznych i informatyki, zarówno z punktu widzenia logiki klasycznej, jak i intuicjonistycznej.

Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Serge Lang (ur. 19 maja 1927 w Paryżu, zm. 12 września 2005 w Berkeley) – amerykański matematyk francuskiego pochodzenia. Znany ze swoich osiągnięć w teorii liczb. Jest autorem klasycznego podręcznika akademickiego Algebra, przetłumaczonego także na język polski. Był członkiem grupy Nicolas Bourbaki.

Na przestrzeni lat język i sposób rozumowania typowy dla teorii kategorii przeniknęły do wielu innych działów matematyki.

Geneza pojęcia kategorii[ | edytuj kod]

Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane swą pionierską pracę z 1945 roku zaczęli od postawienia następującego problemu. Niech dana będzie (aksjomatycznie określona) n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem i jej przestrzeń sprzężona (określona jako przestrzeń wszystkich form liniowych ). Przestrzeń jest też n-wymiarowa, zatem musi być ona izomorficzna z Jednakże niemożliwe jest wskazanie izomorfizmu bez dokonania arbitralnego wyboru: każdy izomorfizm zależy od wybrania bazy w przestrzeni . Wiadomo natomiast, że przyporządkowując każdemu wektorowi przestrzeni funkcjonał na tj. element przestrzeni określony wzorem dla otrzymuje się nieobarczony uznaniowym wyborem bazy, kanoniczny izomorfizm liniowy Podobnie wśród wielu innych znanych izomorfizmów w matematyce niektóre z nich narzucają się jako kanoniczne, naturalne, czy uniwersalne. Eilenberg i Mac Lane postawili pytanie: czy można podać ścisłe, matematyczne określenie owego intuicyjnego pojęcia naturalności izomorfizmu? Aby to zrealizować, zdefiniowali najpierw pojęcie kategorii, następnie pojęcie funktora z jednej kategorii do drugiej i podali definicję naturalnej transformacji funktorów i naturalnej równoważności funktorów.

Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.Antynomia Russella lub paradoks Russella – sprzeczność wykryta w naiwnej teorii mnogości przez Bertranda Russella w 1901 roku. Sprzeczność ta stanowiła duży cios dla rozwoju logicyzmu, będącego próbą aksjomatyzacji matematyki, zgodnie z którym wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako zbiory. Obserwacje dokonane przez Russella zmusiły matematyków do rewizji tego fundamentalnego stanowiska i następnie przyjęcia, że istnieją obiekty niebędące zbiorami, opisywane formułami logicznymi – nazywa się je klasami właściwymi. Paradoks ten wynika z autoreferencji, czyli odwoływania się do samego siebie, i ma charakter podobny do takich paradoksów jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry’ego; por. twierdzenia Gödla i problem stopu.

W teorii kategorii można wyróżnić dziś jej część ogólną, w której fundamentalne jest pojęcie funktora sprzężonego, oraz rozmaite teorie dotyczące kategorii bardziej szczegółowych, z których najważniejsze są kategorie abelowe, ściśle powiązane z algebrą homologiczną.

Wprowadzenie w pojęcie kategorii[ | edytuj kod]

Kategorie przekształceń[ | edytuj kod]

Pojęcie kategorii jest uogólnieniem pojęcia grupy, w szczególności grupy przekształceń. Grupą przekształceń nazywamy dowolny zbiór przekształceń spełniających następujące warunki:

Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe. Stanford Encyclopedia of Philosophy (SEP) jest ogólnie dostępną encyklopedią internetową filozofii opracowaną przez Stanford University. Każde hasło jest opracowane przez eksperta z danej dziedziny. Są wśród nich profesorzy z 65 ośrodków akademickich z całego świata. Autorzy zgodzili się na publikację on-line, ale zachowali prawa autorskie do poszczególnych artykułów. SEP ma 1260 haseł (stan na 20 stycznia 2011). Mimo, że jest to encyklopedia internetowa, zachowano standardy typowe dla tradycyjnych akademickich opracowań, aby zapewnić jakość publikacji (autorzy-specjaliści, recenzje wewnętrzne).

Wszystkie przekształcenia są zdefiniowane na pewnym ustalonym zbiorze i ich wartości też należą do

Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.Antynomia (gr. antinomia - sprzeczność praw) - logiczna sprzeczność, paradoks, zdanie logiczne bądź rozumowanie dedukcyjne, które prowadzi do sprzeczności. Termin używany w logice, epistemologii.

Jeśli przekształcenia i należą do to ich złożenie określone jako też należy do

Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.Półgrupa transformacji – półgrupa wszystkich funkcji (transformacji) pewnego zbioru w siebie z działaniem składania. Nazywana również pełną półgrupą transformacji dla odróżnienia od jej podpółgrup. Jest podpółgrupą półgrupy relacji binarnych na zbiorze, a także półgrupy transformacji częściowych zbioru w siebie. Półgrupa transformacji zbioru zawiera grupę permutacji tego zbioru jako pogrupę.

Przekształcenie tożsamościowe z do należy do

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Każde przekształcenie należące do jest wzajemnie jednoznaczne, tj. różnowartościowe i na a ponadto przekształcenie odwrotne też należy do

Przekształcenie, odwzorowanie geometryczne – funkcja przekształcająca jeden zbiór punktów, nazywany figurą geometryczną, w drugi zbiór punktów w przestrzeni geometrycznej (przestrzeni euklidesowej, przestrzeni rzutowej itp.). W węższym znaczeniu jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń geometryczną na siebie; ta druga definicja jest stosowana dla przekształceń geometrycznych tworzących grupy przekształceń.Ryszard Engelking, prof. (ur. 1935 w Sosnowcu) – polski matematyk specjalizujący się w topologii, szczególnie w teorii wymiaru. Autor wielu książek i publikacji z tego zakresu, w tym Topologii ogólnej (przetłumaczonej na angielski), która jest klasyczną pozycją literatury przedmiotu. Ponadto tłumacz literatury francuskiej.

Jeżeli odrzucimy warunek to otrzymamy pojęcie półgrupy transformacji z tożsamością.

Jeżeli ponadto odrzucimy warunek zastępując przy tym warunki i warunkami

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

Jeśli przekształcenia i należą do to ich złożenie też należy do

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (WMIM UW, MIMUW) – wydział Uniwersytetu Warszawskiego kształcący w trybie dziennym na kierunkach:Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.

Jeśli przekształcenie należy do to przekształcenia tożsamościowe na oraz na też należą do

Samuel Eilenberg (ur. 30 września 1913 w Warszawie, zm. 30 stycznia 1998 w Nowym Jorku) – polski i amerykański matematyk żydowskiego pochodzenia, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

to otrzymamy pojęcie kategorii przekształceń. Przekształcenia należące do kategorii nazywamy morfizmami. Jeśli jest morfizmem, to nazywamy obiektami, przy czym nazywa się dziedziną lub początkiem tego morfizmu, a jego kodziedziną lub końcem. Obiektami mogą być zbiory, grupy lub inne twory matematyczne.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami tzw. dużych liczb kardynalnych.

Aksjomatyczne ujęcie kategorii[ | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Kategoria (matematyka).

Ogólna definicja kategorii jest aksjomatyczna, z pojęciami pierwotnymi: obiekt, morfizm, dziedzina morfizmu, kodziedzina morfizmu, składanie morfizmów. Zakłada się, że każdy morfizm ma dziedzinę i kodziedzinę co zapisujemy w postaci Złożenie takiego z morfizmem istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy Przyjmuje się też odpowiednio sformułowany warunek łączności tego składania. Przy tym ujęciu każdą półgrupę z jednością (czyli monoid) można traktować jako kategorię o jednym obiekcie. Klasę obiektów kategorii oznaczamy symbolem

Funkcja „na” a. surjekcja pisane też czasami jako suriekcja – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie.Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

Można też sformułować definicję kategorii inaczej, bez pojęcia obiektu, w sposób naśladujący definicję grupy, przyjmując następujące pojęcia pierwotne: 1) jest morfizmem, 2) złożenie istnieje i jest równe Definiuje się morfizmy tożsamościowe jako takie morfizmy że jeśli złożenie istnieje, to i jeśli złożenie istnieje, to

Obiekt – w teorii kategorii nazwa elementu klasy na której określona jest kategoria. Każda kategoria składa się z elementów dwóch klas nazywanych klasą obiektów i klasą morfizmów. Klasę obiektów kategorii A {displaystyle {mathfrak {A}}} oznacza się przez O b A {displaystyle mathrm {Ob} {mathfrak {A}}} . Każdemu obiektowi A {displaystyle mathrm {A} ;} odpowiada jednoznaczny morfizm jednostkowy 1 A {displaystyle 1_{mathrm {A} };} , taki że dla każdego morfizmu f o początku A {displaystyle mathrm {A} ;} Pojęcie retrakcji w teorii kategorii wymaga kategorii z podobiektami, co jest tylko nieznacznym, wprowadzonym przez Grothendiecka, wzbogaceniem pojęcia kategorii. Wtedy retrakcję definiujemy jako r-morfizm obiektu w jego podobiekt.

Jako aksjomaty przyjmuje się prawo łączności (dostosowane do sytuacji, w której pewne morfizmy nie mają złożenia) oraz istnienie morfizmów tożsamościowych. Owe tożsamości mogą zastępczo pełnić rolę obiektów.

W języku złożeń (bez odwoływania się do argumentów i wartości funkcji) definiuje się w teorii kategorii podstawowe pojęcia, takie jak

  • izomorfizm – jest to dowolny morfizm dla którego istnieje morfizm odwrotny tzn. taki, że oba złożenia i są odpowiednimi morfizmami tożsamościowymi,
  • monomorfizm – jest to dowolny morfizm mający lewostronną własność skracania: jeśli to (w wielu przykładach kategorii są to iniekcje, funkcje różnowartościowe),
  • epimorfizm – jest to dowolny morfizm mający prawostronną własność skracania: jeśli to (w wielu przykładach kategorii są to suriekcje, czyli funkcje „na”, jakkolwiek gdy morfizmami są funkcje ciągłe, to wystarczy, jeśli obrazem funkcji jest zbiór gęsty),
  • obiekt początkowy – obiekt o tej własności, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm
  • obiekt końcowy – obiekt o tej własności, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm (w wielu przykładach kategorii jest to obiekt jednoelementowy),
  • obiekt zerowy – to obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy.
  • Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

    Przekształcenie afiniczne, powinowactwo lub pokrewieństwo – przekształcenie geometryczne przestrzeni euklidesowych odwzorowujące odcinki na odcinki. Są one homomorfizmami przestrzeni afinicznych, będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych, czyli spełniają one analogiczną rolę, co przekształcenia liniowe względem przestrzeni liniowych (również będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych).Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

    Kategoria dualna i zasada dualności[ | edytuj kod]

    Każda definicja, twierdzenie i dowód w teorii kategorii ma swój odpowiednik dualny, otrzymany przez zamianę każdego wyrażenia typu na oraz zamianę w każdym morfizmie dziedziny na kodziedzinę i kodziedziny na dziedzinę, tzn. zastąpienie każdego przez

    W teorii kategorii pojęcie ekwalizatora jest uogólnieniem pojęcia jądra morfizmu. Jest to formalizacja intuicyjnego pojęcia podobiektu, na którym dwa dane morfizmy są równe. Logika (gr. λόγος, logos – rozum, słowo, myśl) – wedle klasycznej definicji – nauka o sposobach jasnego i ścisłego formułowania myśli, o regułach poprawnego rozumowania i uzasadniania twierdzeń. Jako taka wraz z retoryką logika stanowiła część filozofii. Współczesna logika wykorzystując metodę formalną znacznie rozszerzyła pole badań włączając w to badania nad matematyką (metamatematyka, logika matematyczna), konstruowanie nowych systemów logicznych (np. logiki wielowartościowe), czysto teoretyczne badania o matematycznym charakterze (np. teoria modeli), zastosowania logiki w informatyce i sztucznej inteligencji (logic for computer science).

    Do każdego pojęcia teorii kategorii można w ten sposób utworzyć pojęcie dualne. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm i odwrotnie; pojęciem dualnym do izomorfizmu jest izomorfizm. Pojęciem dualnym do obiektu początkowego jest obiekt końcowy. Jeśli pojęcie dualne nie ma nazwy, tworzy się ją, dodając przedrostek ko-.

    Topologia produktowa – w topologii i związanych z nią działach matematyki naturalna topologia, w którą wyposażona jest przestrzeń produktowa, czyli iloczyn kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych. Choć na przestrzeni produktowej można wprowadzić być może bardziej oczywistą topologię przedziałową, która pokrywa się z topologią produktową w przypadku produktu skończenie wielu przestrzeni, to topologię produktową uważa się jednak za „poprawniejszą” dlatego, iż czyni ona z przestrzeni produktowej teoriokategoryjny produkt jej czynników, podczas gdy topologia przedziałowa jest w ogólności zbyt uboga; w tym właśnie sensie topologia produktowa jest „naturalną” topologią przestrzeni produktowej.Saunders Mac Lane (ur. 4 sierpnia 1909 w Taftville, Connecticut, zm. 14 kwietnia 2005 w San Francisco), matematyk amerykański.

    Ponieważ aksjomaty teorii kategorii są niezmiennicze ze względu na takie zamiany, jeżeli jakieś zdanie wyrażone w terminach morfizmów i ich złożeń jest twierdzeniem teorii kategorii, to zdanie dualne, otrzymane przez opisane tu zamiany, jest też twierdzeniem, zwanym twierdzeniem dualnym.

    Jeśli jest dowolną kategorią, to jej kategorią dualną (ang. opposite category) jest kategoria mająca te same obiekty, a jej morfizmami są morfizmy z z formalnie zamienionymi dziedzinami z kodziedzinami i odwróconym kierunkiem wszystkich strzałek. W ten sposób morfizm w jest dualnym odpowiednikiem morfizmu kategorii

    Zbiór gęsty – zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny. W przestrzeni metrycznej ( X , d ) {displaystyle (X,d)} zbiór D ⊂ X {displaystyle Dsubset X} nazywamy gęstym jeśli dla każdego x ∈ X {displaystyle xin X} i liczby ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} istnieje element q ∈ D {displaystyle qin D} taki, że d ( x , q ) < ε {displaystyle d(x,q)<varepsilon } , tzn. dowolnie blisko każdego elementu x ∈ X {displaystyle xin X} znajduje się jakiś element z D {displaystyle D} .Aksjomaty Zermela-Fraenkla, aksjomatyka Zermela-Fraenkla, w skrócie: aksjomaty(ka) ZF – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla.

    Przykłady kategorii[ | edytuj kod]

    Najprostszym, bardzo ważnym przykładem kategorii przekształceń jest kategoria Set. Jej obiektami są dowolne zbiory, a morfizmami dowolne funkcje Ściślej mówiąc, morfizmem tej kategorii nie jest sama funkcja interpretowana jako pewien zbiór par lecz trójka Jeśli np. oznacza funkcję trygonometryczną zdefiniowaną na zbiorze liczb rzeczywistych to i są dwoma różnymi morfizmami, bo mają różne kodziedziny. W przeciwieństwie do analizy matematycznej, przyjmuje się, że złożenie morfizmów typu i nie jest wykonalne; konieczne jest uwzględnienie dodatkowego pośredniego włożenia tożsamościowego Izomorfizmami w Setbijekcje. Obiektem początkowym w Set jest zbiór pusty bowiem dla dowolnego zbioru istnieje tylko jedna funkcja mianowicie funkcja pusta.

    Andrzej Białynicki-Birula (ur. 26 grudnia 1935 w Nowogródku) – polski matematyk specjalizujący się w geometrii algebraicznej, jeden z pionierów algebry różniczkowej, profesor zwyczajny, członek rzeczywisty PAN, autor podręczników uniwersyteckich do algebry. Jego wczesne wyniki dotyczyły obszaru na granicy logiki i algebry. Współpracował wówczas z Heleną Rasiową. Opublikował też pracę naukową dotyczącą topologii algebraicznej.Koprodukt – pojęcie w teorii kategorii będące uogólnieniem sumy rozłącznej zbiorów i zewnętrznej sumy prostej przestrzeni liniowych. Koprodukt jest konstrukcją dualną do produktu.

    Innym przykładem jest kategoria Grp (oznaczana też Gr), której obiektami są grupy, a morfizmami – homomorfizmy grup. Jej podkategorią jest kategoria Ab grup abelowych i homomorfizmów. Mówimy, że jest to podkategoria pełna, bo ogranicza się tu jedynie klasę obiektów do grup przemiennych, a morfizmy pomiędzy obiektami tej podkategorii pozostają nadal te same. Izomorfizmami w Grpizomorfizmy grup.

    Pojęcie, którego szczególnymi przypadkami są: jądro homomorfizmu grup, jądro homomorfizmu pierścieni, modułów itp.Geometria algebraiczna – dziedzina matematyki zajmująca się badaniem specyficznych obiektów geometrycznych, takich jak rozmaitości algebraiczne, metodami algebry. Zajmuje centralne miejsce we współczesnej matematyce; jest spoiwem łączącym tak odległe od siebie dziedziny, jak analizę zespoloną, topologię i teorię liczb. Przenikanie terminologii geometrii algebraicznej i jej definicji do innych gałęzi "królowej nauk" ma odbicie w jednym z najbardziej ambitnych programów unifikacji w matematyce, w programie Langlandsa.

    W podobny sposób definiuje się wiele innych kategorii, przyjmując za obiekty zbiory wyposażone w jakieś struktury (algebraiczne, topologiczne, porządkowe). Morfizmami są wówczas jakieś odpowiednio zdefiniowane przekształcenia, związane z tymi strukturami.

    Jedną z takich kategorii jest Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są funkcje spełniające warunek Lipschitza:

    Jej podkategorią jest kategoria Metr1, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są odwzorowania nierozszerzające, spełniające warunek Lipschitza ze stałą tzn. Nie jest to podkategoria pełna, bowiem – przeciwnie – obiekty są nadal te same, natomiast klasa morfizmów jest zawężona. Izomorfizmami w Metr1 są izometrie „na”, a izomorfizmami w Metr są bijekcje takie, że i spełniają warunek Lipschitza. Można też rozpatrywać inne kategorie o tej samej klasie obiektów, np. kategorię przestrzeni metrycznych i odwzorowań ciągłych oraz kategorię przestrzeni metrycznych i odwzorowań jednostajnie ciągłych.

    Stanisław Piotr Balcerzyk (ur. 29 czerwca 1932 w Płocku – zm. 5 marca 2005 w Toruniu) – polski matematyk zajmujący się algebrą, profesor Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu, wieloletni pracownik Instytutu Matematycznego PAN w Warszawie, prezes Polskiego Towarzystwa Matematycznego w latach 1985–1987.Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Pojęcia pierwotnego nie definiuje się językiem teorii, tylko podaje się definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.

    Pewne kategorie mają zastosowanie w teorii deterministycznych automatów skończonych, wśród nich kategoria, której obiektami są automaty Mealy’ego zdefiniowane jako ciągi gdzie: to zbiór sygnałów wejściowych, – zbiór stanów wewnętrznych, – zbiór sygnałów wyjściowych, – funkcja przejść, – funkcja wyjść, – element zbioru zwany stanem początkowym. Morfizmem z automatu do automatu nazywa się trójka funkcji spełniająca pewne naturalne warunki.

    Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzoremDiagram – teoriokategoryjny odpowiednik rodziny indeksowanej zbiorów z teorii mnogości; zasadniczą różnicą jest dodatkowa obecność morfizmów obok obiektów. Wykorzystuje się je w definicjach granicy i kogranicy oraz stożków. Szczególnym rodzajem diagramu jest tzw. diagram przemienny pełniący rolę analogiczną do równania w algebrze. Przykładami diagramów, obok wspomnianej rodziny indeksowanej, są m.in. układ prosty i odwrotny.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]




    Warto wiedzieć że... beta

    Zbigniew Semadeni (ur. 1 marca 1934 w Warszawie) – polski matematyk zajmujący się analizą funkcjonalną, teorią kategorii oraz dydaktyką matematyki. Ukończył fizykę i matematykę na Uniwersytecie im. Adama Mickiewicza (1956). W latach 1962-1986 pracował w Instytucie Matematycznym Polskiej Akademii Nauk w Warszawie. W 1971 roku uzyskał tytuł profesora nadzwyczajnego, a w 1976 roku tytuł profesora zwyczajnego. Profesor emerytowany Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.
    Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.
    Półgrupa – Grupoid ⟨ A , ⊙ ⟩ {displaystyle langle A,odot angle } , którego działanie ⊙ {displaystyle odot } jest łączne, czyli:
    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.
    Diagram przemienny – w matematyce, a szczególnie jej dziale nazywanym teorią kategorii, diagram składający się z obiektów (nazywanych również wierzchołkami) i morfizmów (znanych także jako strzałki lub krawędzie), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na składanie morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają analogiczną rolę w teorii kategorii do równań w algebrze.
    Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.
    Encykłopedija suczasnoji Ukrajiny (ukr. Енциклопедія сучасної України, ЕСУ) – wielotomowe opracowanie w języku ukraińskim, przedstawiające informację o Ukrainie od początku XX wieku do dziś.

    Reklama