Teoria dystrybucji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Teoria dystrybucji – dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych powstały w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadniczą była potrzeba rozszerzenia pojęcia funkcji zmiennej rzeczywistej na funkcje uogólnione, które niekoniecznie musiałyby mieć własności przynależne zwykłym funkcjom (np. różniczkowalność w zwykłym sensie), ale jednak dla których można by wprowadzić pojęcie pochodnych w sposób uogólniony. Funkcje uogólnione nazwano dystrybucjami.

Teoria – z gr. theoría- oglądanie, rozważanie. System pojęć, definicji, aksjomatów i twierdzeń ustalających relacje między tymi pojęciami i aksjomatami, tworzący spójny system pojęciowy opisujący jakąś wybraną fizyczną lub abstrakcyjną dziedzinę.Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.

Działania wykonywane na dystrybucjach są odmienne od działań, jakie mają sens dla zwykłych funkcji. Np. mnożenie funkcji w wyniku daje inną funkcję, zaś takie działanie dla dystrybucji (np. dla delty Diraca) dawałoby funkcję zerową, co nie miałoby zastosowania. Zamiast tej operacji dla dystrybucji całkuje się ich iloczyn (czyli oblicza się tzw. splot) – w wyniku dostaje się inną dystrybucję.

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Z innych działań, typowych dla dystrybucji, jest np. wykonywanie transformaty Fouriera.

Metody dystrybucyjne, jak obliczanie splotów, transformat itp. znajdują zastosowania m.in. w teorii równań różniczkowych, pozwalając znajdować ich uogólnione rozwiązania. Np. gdy warunki początkowe układów fizycznych są zadane funkcjami nieróżniczkowalnymi, jak w przypadku impulsowego włączenia prądu w układzie elektrycznym. Dzięki temu dystrybucje doskonale nadają się do opisu wielu rzeczywistych układów, których nie dałoby się opisać w ramach teorii zwykłych funkcji.

Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Inaczej mówiąc jest to funkcja o wartościach rzeczywistych.Julian Musielak (ur. 7 listopada 1928 w Poznaniu) - polski matematyk, profesor zwyczajny. Zajmuje się przestrzeniami funkcyjnymi (od m.in. jego nazwiska pochodzi nazwa przestrzeni Musielaka-Orlicza) oraz teorią całki dla funkcji o wartościach wektorowych. Autor monografii Orlicz Spaces and Modular Spaces, Springer Lecture Notes in Mathematics, 1983 oraz podręcznika akademickiego do analizy funkcjonalnej Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN 1989 (wydanie drugie zmienione).

Motywacje[ | edytuj kod]

Francuski matematyk Laurent Schwartz zajmując się funkcjami nieróżniczkowalnymi postawił pytanie o istnienie pochodnych takich funkcji i podał przypuszczenie, że być może pochodne funkcji ciągłych nieróżniczkowalnych w zwykłym sensie istnieją, ale nie są zwykłymi funkcjami, gdyż klasa rozpatrywanych funkcji jest zbyt wąska. Schwartz rozważał przestrzeń funkcji określonych na otwartym podzbiorze przestrzeni euklidesowej ustalonego wymiaru, nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, o zwartym nośniku – przy czym wzmocnił dodatkowo topologię zbieżności w tej przestrzeni.

Funkcjonał – w matematyce to przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń. Jest to funkcja, której argumentami są wektory, a wartościami skalary. Często tą przestrzenią jest przestrzeń funkcji - wtedy argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem uważany jest za funkcję funkcji.Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.

Schwartz zauważył, że im mniejsza – w pewnym sensie – przestrzeń wyjściowa, tym większa jest jej przestrzeń sprzężona. Przestrzeń nazwana przestrzenią dystrybucji, okazała się „bardzo duża”: należą do niej wszystkie funkcje lokalnie całkowalne oraz tzw. funkcje uogólnione, jak na przykład delta Diraca.

Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Polskie Towarzystwo Matematyczne (PTM) – stowarzyszenie zrzeszające osoby związane z matematyką polską. Jego cele, to

Schwartz nazwał elementy przestrzeni dystrybucjami. Okazało się, że każda z nich ma pochodne wszystkich rzędów, należące znowu do różniczkowanie jest operacją ciągłą, przestrzenie i są lokalnie wypukłe, ale nie są metryzowalne. Dystrybucje okazały się rewelacją w teorii i w zastosowaniach do równań różniczkowych.

Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność którą posiadają wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.Wiadomości Matematyczne (Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego Seria II) – czasopismo wydawane przez Polskie Towarzystwo Matematyczne. Jest ono kontynuacją czasopisma (o tym samym tytule) założonego przez Samuela Dicksteina.

Definicja[ | edytuj kod]

Jeśli jest otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej (w szczególności może być całą przestrzenią), to przez oznacza się przestrzeń liniową funkcji gładkich o zwartym nośniku, przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone. Zatem przestrzeń składa się z takich funkcji określonych na zbiorze które mają ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu, a ponadto przyjmują wartość zero poza zbiorem ograniczonym.

Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.Notacja wielowskaźnikowa – notacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

W przestrzeni można określić pojęcie zbieżności, przyjmując, że ciąg funkcji jest zbieżny do funkcji granicznej wtedy i tylko wtedy, gdy:

Delta Diraca – dystrybucja, czyli funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni D {displaystyle {mathcal {D}}} funkcji próbnych, tzn. wszystkich funkcji klasy C ∞ ( R N ) {displaystyle C^{infty }(mathbb {R} ^{N})} o zwartych nośnikach, dany wzoremDOI (ang. digital object identifier – cyfrowy identyfikator dokumentu elektronicznego) – identyfikator dokumentu elektronicznego, który w odróżnieniu od identyfikatorów URL nie zależy od fizycznej lokalizacji dokumentu, lecz jest do niego na stałe przypisany.
  • istnieje zbiór ograniczony w którym zawierają się nośniki funkcji dla (a więc funkcje zerują się poza zbiorem );
  • dla każdego wielowskaźnika ciąg pochodnych cząstkowych jest zbieżny jednostajnie do
  • Wówczas przestrzeń sprzężoną do nazywa się przestrzenią dystrybucji na dystrybucjami są więc wszystkie te funkcjonały które są liniowe i ciągłe.

    Układ fizyczny - układ (wyodrębniony, realnie lub jedynie myślowo, fragment rzeczywistości), w postaci obiektu fizycznego lub zbioru takich obiektów. Może on być oddzielony od otoczenia wyraźnymi granicami, które są powierzchniami nieciągłości określonych wielkości fizycznych, charakteryzujących układ. W znaczeniu używanym w mechanice klasycznej to przede wszystkim zbiór ciał.Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.

    Funkcje lokalnie całkowalne[ | edytuj kod]

    Mając określoną przestrzeń dystrybucji na jw., każdej funkcji lokalnie całkowalnej na można przypisać dystrybucję określoną wzorem:

    International Standard Serial Number, ISSN czyli Międzynarodowy Znormalizowany Numer Wydawnictwa Ciągłego – ośmiocyfrowy niepowtarzalny identyfikator wydawnictw ciągłych tradycyjnych oraz elektronicznych. Jest on oparty na podobnej koncepcji jak identyfikator ISBN dla książek, ISAN dla materiałów audio-wideo. Niektóre publikacje wydawane w seriach mają przyporządkowany zarówno numer ISSN, jak i ISBN.Matematyka (z łac. mathematicus, od gr. μαθηματικός mathēmatikós, od μαθηματ-, μαθημα mathēmat-, mathēma, „nauka, lekcja, poznanie”, od μανθάνειν manthánein, „uczyć się, dowiedzieć”; prawd. spokr. z goc. mundon, „baczyć, uważać”) – nauka dostarczająca narzędzi do otrzymywania ścisłych wniosków z przyjętych założeń, zatem dotycząca prawidłowości rozumowania. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

    Taki zabieg pozwala na traktowanie pewnych dystrybucji, zwanych regularnymi, jako funkcji lokalnie całkowalnych. W przestrzeni dystrybucji można następnie określić operację różniczkowania, transformacji Fouriera oraz splotu tak, aby miały one jednakowy sens, jak w przypadku analogicznych działań na funkcjach. Co więcej, operacje te określone są na wszystkich dystrybucjach, niezależnie od tego, czy da się je utożsamić z jakimikolwiek funkcjami.

    Zbiór ograniczony – termin w matematyce używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

    Delta Diraca[ | edytuj kod]

     Zapoznaj się również z: delta Diraca.

    Delta Diraca to bardzo ważny w zastosowaniach przykład dystrybucji nieregularnej; można ją również zdefiniować jako „pseudofunkcję”, choć w sensie ścisłym należy ją traktować jako dystrybucję z tzn. (możliwe jest przedłużenie dystrybucji na szersze przestrzenie funkcyjne), określoną wzorem

    Przypisy[ | edytuj kod]





    Reklama