Teoria Galois

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Évariste Galois (1811–1832)

Teoria Galois – nosząca nazwisko Évariste’a Galois teoria matematyczna, a dokładniej teoria algebry abstrakcyjnej, wskazująca związki między teorią ciał a teorią grup. Umożliwia ona redukcję pewnych problemów teorii ciał do zagadnień w pewnym sensie prostszej i lepiej poznanej teorii grup.

Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.Ciąg – jedno z kilku powiązanych pojęć teorii grup pomocne przy badaniu struktury danej grupy; zwykle przez „ciąg” rozumie się opisany dalej ciąg podnormalny. W ogólności ciągiem podgrup danej grupy nazywa się po prostu łańcuch jej podgrup; ciągi podgrup są przypadkiem szczególnym filtracji znanej z algebry abstrakcyjnej.

Wkładem Galois w tę dziedzinę było opisanie związków między pierwiastkami danego równania wielomianowego za pomocą grup permutacji oraz opisanie wszystkich ciał skończonych. Współczesne podejście opracowane przez Richarda Dedekinda, Leopolda Kroneckera, Emila Artina i innych obejmuje przede wszystkim badanie automorfizmów rozszerzeń ciała.

Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

Daleko idącą abstrakcją teorii Galois jest teoria połączeń Galois.

Zastosowania w konstrukcjach klasycznych[ | edytuj kod]

 Osobny artykuł: konstrukcje klasyczne.

Główną motywacją teorii Galois było poniższe pytanie, na które odpowiedź znana jest dziś jako twierdzenie Abela-Ruffiniego:

Teoria – z gr. theoría- oglądanie, rozważanie. System pojęć, definicji, aksjomatów i twierdzeń ustalających relacje między tymi pojęciami i aksjomatami, tworzący spójny system pojęciowy opisujący jakąś wybraną fizyczną lub abstrakcyjną dziedzinę.Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0.
„Dlaczego nie ma wzoru na pierwiastki równania wielomianowego piątego (lub wyższego) stopnia wyrażonego współczynnikami wielomianu, który zawierałby wyłącznie tylko zwyczajne operacje algebraiczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) i wyciąganie pierwiastków (kwadratowych, sześciennych itd.)?”

Teoria Galois dostarcza nie tylko odpowiedzi na to pytanie, lecz wyjaśnia także szczegółowo, dlaczego możliwe jest rozwiązywanie w ten sposób równań stopnia czwartego i niższych oraz dlaczego rozwiązania te przyjmują taką, a nie inną postać. Więcej, daje ona koncepcyjnie przejrzyste i częstokroć praktyczne środki umożliwiające wskazanie, kiedy dane równanie wyższego stopnia może być rozwiązane tym sposobem.

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.

Teoria Galois daje również przekonujące rozwiązania zadań konstrukcyjnych wykonywanych za pomocą cyrkla i linijki; w tym przedstawia ona elegancką charakteryzację stosunków długości, które mogą być skonstruowane tą metodą, dzięki czemu względnie łatwo odpowiedzieć na takie problemy klasyczne geometrii jak: „Dlaczego nie jest możliwe w ogólnym przypadku podzielenie kąta na trzy równe części?”, „Czy można dla danego sześcianu skonstruować sześcian o dwa razy większej objętości?”, „Czy można skonstruować kwadrat o polu równym danemu kołu?” (wykorzystując fakt, iż liczba π jest przestępna); „Które wielokąty foremne są wielokątami konstruowalnymi?”.

Innym zastosowaniem tej teorii jest prosty dowód zasadniczego twierdzenia algebry mówiącego, iż ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte.

Grupa rozwiązalna – w matematyce, jest to grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, czyli przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.


Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




Warto wiedzieć że... beta

Jerzy Browkin (ur. 5 listopada 1934, zm. 23 listopada 2015 w Warszawie) – polski matematyk zajmujący się algebraiczną teorią liczb. W 1994, wspólnie z Juliuszem Brzezińskim, sformułował n-hipotezę, tj. uogólnienie hipotezy abc na liczby całkowite n ≥ 3.
Serge Lang (ur. 19 maja 1927 w Paryżu, zm. 12 września 2005 w Berkeley) – amerykański matematyk francuskiego pochodzenia. Znany ze swoich osiągnięć w teorii liczb. Jest autorem klasycznego podręcznika akademickiego Algebra, przetłumaczonego także na język polski. Był członkiem grupy Nicolas Bourbaki.
Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):
Grupa Galois – grupa związana z określonym rodzajem rozszerzenia ciała. Badanie rozszerzeń ciał (i wielomianów je produkujących) za pomocą grup Galois nazywa się teorią Galois, której nazwa pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który pierwszy zastosował wspomnianą metodę.
Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.
Leopold Kronecker (ur. 7 grudnia 1823 w Legnicy, zm. 29 grudnia 1891 w Berlinie) – niemiecki matematyk i logik. Brat Hugona Kroneckera.
Bartel Leendert van der Waerden (ur. 2 lutego 1903 r. w Amsterdamie, zm. 12 czerwca 1996 r. w Zurichu), matematyk holenderski, pracujący twórczo w wielu dziedzinach matematyki.

Reklama