• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Tensor metryczny



    Podstrony: [1] [2] 3 [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Rozwiązanie Schwarzschilda – rozwiązanie równań Einsteina ogólnej teorii względności, opisujące pole grawitacyjne wokół sferycznie symetrycznej nierotującej masy, takiej jak gwiazda, planeta czy czarna dziura. Daje ono również dobre przybliżenie dla pola grawitacyjnego w pobliżu wolno obracających się ciał, takich jak Ziemia czy Słońce.Szczególna teoria względności (STW) – teoria fizyczna stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona sposób pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej. Teoria pozwoliła usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.
    Iloczyn skalarny wektora [ | edytuj kod]

    Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy iloczyn skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:

  • – wektor bazy układu współrzędnych w kierunku współrzędnej ,
  • – wektor nieskończenie małego przesunięcia w przestrzeni zapisany w tej bazie.
  • Ponieważ to kwadrat długości wektora wynosi:

    Czterowektor – w algebrze tensorowej wektor kontrawariantny. Możliwa jest także konstrukcja wektorów kowariantnych za pomocą izomorfizmu muzycznego oraz tensorów o dowolnej walencji przy pomocy iloczynu tensorowego. Pierwszym elementem czterowektora jest składowa czasowa, a kolejne trzy są to współrzędne przestrzenne.W matematyce i fizyce symbole Christoffela (nazwa pochodzi od autora Elwina Bruno Christoffela) są tablicami liczb rzeczywistych, opisujących w układzie współrzędnych efekt transportu równoległego na zakrzywionych powierzchniach, a ogólniej rozmaitościach.

    Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznie:

    Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – w algebrze liniowej przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z przestrzenią trówymiarową umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.

    Własności tensora metrycznego[ | edytuj kod]

    Symetryczność[ | edytuj kod]

    (1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.

    Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

    Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniu dla każdej pary wskaźników mamy sumę dwóch wyrazów:

    Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907–1915, a opublikowanej w roku 1916.Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.
    =

    Gdyby to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartości

    Elektrodynamika - dział fizyki zajmujący się badaniem zachowania się ciał obdarzonych ładunkiem elektrycznym, w szczególności:Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).

    (2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy to implikuje to natychmiast, że tensor jest symetryczny, tj.

    Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).Geometria różniczkowa – dziedzina geometrii, badająca krzywe, powierzchnie i ich wielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami, opierając się na geometrii analitycznej, szeroko stosując metody analizy matematycznej, głównie rachunku różniczkowego.

    Symetria góra-dół[ | edytuj kod]

    Z tensora można otrzymać tensory oraz odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:

    Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.Rozmaitość w matematyce, a szczególnie w geometrii różniczkowej i topologii, to podzbiór przestrzeni euklidesowej, który w dowolnym lokalnym obszarze można opisać (w ogólności wielowymiarową) funkcją gładką. Bardziej ogólnie rozmaitość topologiczną można przedstawić jako przestrzeń topologiczną, która w odpowiednio małej skali przypomina przestrzeń euklidesową określonego wymiaru, zwaną wymiarem rozmaitości. Stąd, linia i okrąg to rozmaitości jednowymiarowe, powierzchnia i sfera to rozmaitości dwuwymiarowe, i tak dalej w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów. Bardziej formalnie, każdy punkt rozmaitości n-wymiarowej ma homeomorficzne sąsiedztwo w otwartym podzbiorze n-wymiarowej przestrzeni R.

    Ponieważ tensory oraz są symetryczne, to i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:

    Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie.Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

    co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.

    Teoria Kaluzy-Kleina – teoria w fizyce łącząca teorię względności Einsteina z elektromagnetyzmem Maxwella za pomocą rozszerzenia czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego o hipotetyczny dodatkowy piąty wymiar.Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego – wydawca książek naukowych i dydaktycznych, których autorami są najwybitniejsi przedstawiciele nauki polskiej i światowej. Wydawnictwo nie ogranicza się do jednej dziedziny akademickiej, lecz wydaje najciekawsze prace polskich naukowców, a także przygotowuje tłumaczenia dzieł, które wzbudziły zainteresowanie, kontrowersje i wniosły znaczący wkład w naukę światową. Do czołowych przedsięwzięć wydawniczych należy seria Comunicare, w której publikowane są prace prezentujące systemy komunikacji, media, gatunki prasowe i piśmiennicze w ujęciu antropologicznym. Innymi istotnymi wydawnictwami są serie Wiedza o kulturze, Biblioteka Klasyków Nauki i Biblioteka Dzieł Wschodu. Wydawnictwa publikują również czasopisma naukowe: Przegląd Humanistyczny, Poradnik Językowy, Studia Iuridica, Polish Archeology Mediterranean (PAM) oraz wiele innych.

    „Diagonalność” i współczynniki Lamego[ | edytuj kod]

    Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego: (nie ma sumowania).

    Przykłady tensorów metrycznych[ | edytuj kod]

    Układ kartezjański 3D[ | edytuj kod]

    Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów i obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji

    Symbol Kroneckera, zwany także deltą Kroneckera, to dwuargumentowa funkcja, oznaczana symbolem δi, j, która przyjmuje wartość 1 dla i = j i 0 dla i ≠ j.Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.

    oraz

    Przestrzeń styczna jest pojęciem matematycznym, dotyczącym geometrii różniczkowej. Przestrzeń styczna do rozmaitości różniczkowej jest uogólnieniem przestrzeni afinicznej, czyli przestrzeni swobodnych wektorów, na ogólne rozmaitości różniczkowe.Definicja intuicyjna: Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

    będą identyczne. Z tego względu stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

    Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa A = [ a i j ] {displaystyle scriptstyle mathbf {A} =[a_{ij}]} stopnia n , {displaystyle scriptstyle n,} która dla i , j = 1 , … , n {displaystyle scriptstyle i,j=1,dots ,n} spełnia warunek

    Można pokazać, że dowolna transformacja z wyżej wymienionych, np. obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.

    Układ kartezjański n-wymiarowy[ | edytuj kod]

    Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.

    Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:

    gdzie: delta Kroneckera.

    Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same.

    Czasoprzestrzeń płaska (4D)[ | edytuj kod]

    W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przez szczególną teorię względności) interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identyczności prędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach obliczy się interwały

    to wyniki te będą identyczne, tj.

    mimo że wielkości oraz w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkość stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

    Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni – to 4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np.

    Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych: Wtedy niezmiennik przyjmie postać:

    Z postaci niezmiennika natychmiast wynika postać tensora metrycznego:

    Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Przestrzeń taką nazywa przestrzenią pseudoeuklidesową.

    Czasoprzestrzeń zakrzywiona (4D)[ | edytuj kod]

    W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych tensor ten ma postać:

    Współrzędne sferyczne (3D)[ | edytuj kod]

    Współrzędne sferyczne są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

    Aby obliczyć tensor metryczny kowariantny w układzie współrzędnych sferycznych można

    1) albo obliczyć najpierw bazę wektorów stycznych do krzywych współrzędnych, a następnie obliczyć ich iloczyny skalarne

    2) albo wykorzystać bezpośrednio wzór przyjmując oraz

    Z obliczeń otrzyma się:

    Tensor metryczny kontrawariantny otrzyma się obliczając macierz odwrotną do macierzy (co jest trywialne, gdyż jest macierzą diagonalną – wystarczy odwrócić wyrazy na diagonali):

    Podstrony: [1] [2] 3 [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.106 sek.