• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Szereg harmoniczny



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Hipoteza Riemanna to sformułowana w 1859 roku hipoteza dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą ½. Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki – w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Clay Mathematics Institute ufundował nagrodę w wysokości miliona dolarów za dowód lub obalenie hipotezy Riemanna. Hipoteza Riemanna była 8. problemem z listy problemów Hilberta.Ciąg Cauchy’ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.

    Szereg harmonicznyszereg liczbowy postaci:

    Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

    Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.Pietro Mengoli; polska wersja imienia – Piotr; (ur. 1626 w Bolonii, zm. 1686 tamże) był włoskim matematykiem z Bolonii. W tym mieście studiował razem z Bonawenturą Cavalierim na tamtejszym uniwersytecie; studia ukończył w 1647. Pozostał na tej uczelni przez 39 lat; sprawował funkcję profesora.

    nazywają się liczbami harmonicznymi.

    Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z EleiWzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

    Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących:

    Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

    Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.Grigorij Michajłowicz Fichtenholz (ros. Григорий Михайлович Фихтенгольц, ur. 5 czerwca 1888 w Odessie, zm. 25 czerwca 1959 w Leningradzie), rosyjski matematyk pochodzenia niemieckiego.

    Rozbieżność szeregu harmonicznego[ | edytuj kod]

    Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności

    Georg Friedrich Bernhard Riemann (ur. 17 września 1826 w Breselenz w ówczesnym państwie Hanower, zm. 20 lipca 1866 w miejscowości Selasca, w pobliżu Verbanii na jeziorem Maggiore we Włoszech) - matematyk niemiecki, od 1857 profesor uniwersytetu w Getyndze.Zbieżność, przez wiele iteracji, oznacza proces zmierzania do określonej wartości, w czasie; lub zmierzania do określonego punktu, lub wspólnego punktu widzenia, opinii lub sytuacji.

    Dowód Mikołaja z Oresme[ | edytuj kod]

    Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

    Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.Szereg przemienny – szereg liczbowy, którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Szereg przemienny można przedstawić w postaci:

    Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.

    Ponieważ

    Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie e = 2,718 281 828…, gdzie e jest liczbą Eulera. Oznaczany jest typowo symbolem „ln”.

    i ogólnie

    Mikołaj z Oresme, także Nicole Oresme lub Nicolas d’Oresmus (ur. około 1320, zm. 11 lipca 1382) – francuski średniowieczny filozof. Prowadził badania między innymi w zakresie matematyki, ekonomii, fizyki i astronomii. Był również katolickim biskupem Lisieux i doradcą króla Karola V Mądrego. Ponadto był uznanym tłumaczem i komentatorem dzieł Arystotelesa (m.in. jako pierwszy przetłumaczył na łacinę Etykę nikomachejską).Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach - twierdzenie w teorii prawdopodobieństwa dotyczące zbieżności szeregów niezależnych zmiennych losowych. Jest to warunek konieczny i dostateczny zbieżności. Twierdzenie to było opublikowane w 1925 w pracy autorstwa Andrieja Kołmogorowa i Aleksandra Chinczyna.

    więc

    W teorii prawdopodobieństwa mówimy, że zdarzenie zachodzi prawie na pewno (p.n.) jeśli zachodzi ono z prawdopodobieństwem 1. Sformułowanie to pojawia się w naturalny sposób np. przy badaniu zagadnień granicznych (zob. np. prawo wielkich liczb).

    Oznacza to, że ciąg sum częściowych jest rozbieżny do .

    Dowód Pietra Mengolego[ | edytuj kod]

    W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli.

    Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:

    Ponieważ

    i ogólnie

    więc

    co w efekcie daje

    Oznacza to, że ciąg sum częściowych nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.

    Dowód Bradleya[ | edytuj kod]

    Bradley podał w roku 2000 następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.

    Dla dowolnej liczby spełniona jest nierówność

    a stąd

    Ciąg sum częściowych można więc oszacować:

    Ponieważ

    zachodzi

    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Reklama

    Czas generowania strony: 0.889 sek.