Szereg Fouriera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szereg Fourieraszereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań oraz przetwarzaniu sygnałów obrazu (kompresja jpeg) i dźwięku (kompresja mp3).

Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:3blue1brown – kanał na YouTube poświęcony matematyce, prowadzony przez Granta Sandersona, którego celem jest przedstawienie pojęć matematycznych w sposób wizualny.

Definicja[ | edytuj kod]

Niech dana będzie funkcja okresowa o okresie bezwzględnie całkowalna w przedziale

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z EleiMP3 ((ang.) MPEG-1/MPEG-2 Audio Layer 3) – algorytm kompresji stratnej dźwięku, przetworzonego uprzednio na sygnał cyfrowy. Popularnie zwany formatem MP3 lub standardem MP3. Jest zdefiniowany przez IETF w dokumencie RFC 5219.

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

o współczynnikach określonych następującymi wzorami:

Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie ( oznacza okres funkcji) nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Przy zastosowaniu takiego oznaczenia powyższe wzory przyjmują postać:

MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).Lemat – w matematyce twierdzenie pomocnicze, którego głównym zastosowaniem jest uproszczenie dowodów innych, bardziej istotnych twierdzeń. Formalnie jednak każdy lemat jest pełnoprawnym twierdzeniem, a zaklasyfikowanie pewnego twierdzenia jako lematu wynika jedynie ze sposobu jego użycia w innym, obszerniejszym kontekście. Często zdarzało się, że lemat zyskiwał sobie o wiele większe znaczenie od pierwotnego, znajdując szersze zastosowanie i stając się w zasadzie samodzielnym twierdzeniem, którego nazwa wynika z uwarunkowań historycznych.
Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera
Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera
Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera


Podstrony: 1 [2] [3]




Warto wiedzieć że... beta

Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).
Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:
Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.
Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.
YouTube – serwis internetowy, stworzony w lutym roku 2005, który umożliwia bezpłatne umieszczanie, oglądanie filmów oraz live streaming. Używa technologii FLV do wyświetlania szerokiego wyboru filmów zamieszczonych przez użytkowników (tzw. user-generated content), takich jak zwiastuny filmowe lub telewizyjne, teledyski, jak i dzieła amatorskie: wideoblogi i krótkie własne filmy. Większość materiałów została załadowana na YouTube przez prywatne osoby, ale wiele firm (na przykład Columbia Broadcasting System, BBC, Universal Music Group, w Polsce Polska Agencja Prasowa, Grupa TVN, CD Projekt), różne instytucje i organizacje oferują część swoich materiałów przez YouTube jako część programu partnerskiego.
Warunki Dirichleta – warunki wystarczające aby funkcja okresowa posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka Piotra Gustawa Dirichleta.
JPEG (wym. dżej-peg lub jot-peg) – metoda kompresji statycznych obrazów rastrowych, przeznaczony głównie do stratnego zapisu obrazów naturalnych (pejzaży, portretów itp.), charakteryzujących się płynnymi przejściami barw oraz brakiem lub małą ilością ostrych krawędzi i drobnych detali.

Reklama