System resztowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

System resztowy (RNS od ang. residue number system) – system liczbowy służący do reprezentacji liczb całkowitych wektorem reszt z dzielenia względem ustalonego wektora wzajemnie względnie pierwszych modułów. Chińskie twierdzenie o resztach orzeka, że taka reprezentacja jest jednoznaczna dla liczb całkowitych ze zbioru gdzie jest iloczynem wszystkich modułów.

Czwórkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 4. Do zapisu liczb są potrzebne 4 cyfry: 0, 1, 2 i 3.Grecki system liczbowy – liczbowy system addytywny używający greckiego alfabetu do reprezentacji liczb. Obecnie w Grecji jego zastosowanie ogranicza się do reprezentacji liczebników porządkowych oraz w sytuacjach analogicznych do stosowania rzymskiego zapisu w kulturze zachodniej.

Niech będzie bazą względnie pierwszych modułów, a ich iloczynem. Wtedy reprezentacją liczby w systemie resztowym o bazie jest gdzie dla każdego

Jakkolwiek mianem cyfr arabskich określa się obecnie używany powszechnie niemal na całym świecie zestaw symboli stosowanych do oznaczenia poszczególnych wartości liczbowych, to w rzeczywistości używane w większości krajów arabskich (i muzułmańskich) cyfry arabskie nie przypominają swych europejskich odpowiedników. Różnica ta wynika stąd, iż wygląd zapożyczonych w średniowieczu przez kulturę europejską symboli ewoluował w innym kierunku, niż wygląd tych samych znaków w kulturze islamu, przy czym cyfry w krajach arabskich bliższe są swoim indyjskim pierwowzorom.Modulo – operacja wyznaczania reszty z dzielenia jednego typu liczbowego przez drugi. W dalszym ciągu napis a   mod   d = r {displaystyle a {mod { }}d=r} będzie oznaczał, iż r {displaystyle r} jest resztą z dzielenia a {displaystyle a} przez d {displaystyle d} .

Operacje[ | edytuj kod]

Na liczbach reprezentowanych w systemie resztowym może być efektywnie przeprowadzonych wiele operacji arytmetycznych. Wykonuje się je, przeprowadzając niezależnie na odpowiednich resztach „zwykłe” operacje, a następnie operację modulo odpowiedniego modułu. Dla następujących operacji rozważmy dwie liczby całkowite, i reprezentowane przez i w systemie resztowym zdefiniowanym przez bazę (dla z przedziału ).

Cyfry etruskie - system numeryczny używany przez plemiona etruskie; cyfry rzymskie rozwinęły się z cyfr etruskich. Na podstawie cyfr etruskich prawdopodobnie powstał również system numeryczny rowasz (rewasz), używany przez Szeklerów i karpackich górali, co byłoby zrozumiale w świetle hipotezy Alinei, że etruski to forma starowęgierskiego.System liczbowy głagolicy to system liczbowy języka cerkiewnosłowiańskiego. Jest to system addywny. W odróżnieniu od systemu liczbowego cyrylicy znane są również niektóre wartości dla rzędu tysięcy.

Dodawanie i odejmowanie[ | edytuj kod]

Dodawanie (lub odejmowanie) może być wykonane przez proste dodawanie (lub odejmowanie) małych liczb całkowitych i policzenie odpowiedniego modułu:

może być policzone w systemie resztowym jako:

Mnożenie[ | edytuj kod]

Mnożenie można wykonać w podobny sposób do dodawania i odejmowania. Aby obliczyć:

Minus-dwójkowy system liczbowy nazywany również negabinarnym – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba ujemna, a dokładniej -2. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne są, tak samo jak w systemie binarnym, cyfry 0 i 1n ie jest potrzebny znak"-" dla oznaczenia liczb ujemnych. Wartość liczby w tym systemie można przedstawić następująco:Dwudziestkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 20. Do zapisu liczb potrzebne jest 20 cyfr. Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dziesiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15, G = 16, H = 17, I = 18 oraz J = 19. W kalkulatorach naukowych o siedmiosegmentowych wyświetlaczach LCD stosuje się następujące oznaczenia kolejnych cyfr szesnastkowych: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, C, d, E, F, G, H, i, J (b i d i "i", zamiast B i D i I dla rozróżnienia wyświetlania, które wyglądają jak 8 i 0 i 1).

liczymy:

Przykład[ | edytuj kod]

Przyjmijmy bazę Rozpatrzmy dwie liczby, i W przyjętym systemie resztowym liczby te reprezentujemy jako

Cyfry Suzhou (chiń. upr.: 苏州码子; chiń. trad.: 蘇州碼子; pinyin: sūzhōu mǎzi) lub huama (chiń. upr.: 花碼; chiń. trad.: 花码; pinyin: huāmǎ) to system liczbowy stosowany w Chinach przed wprowadzeniem cyfr arabskich.Dwójkowy system liczbowy, system binarny, bin – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Obliczamy wartość iloczynu przy użyciu systemu resztowego:

Starożytne cyfry egipskie były używane w Egipcie aż do wczesnych lat pierwszego tysiąclecia naszej ery. Był to system dziesiętny, często zaokrąglany w górę, zapisywany przy użyciu hieroglifów. System zapisu przez hieratykę wymuszał skończony zapis liczb.Siódemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 7. System siódemkowy jest czasem nazywany septymalnym (łac. septem - siedem). Do zapisu liczb używa się w nim siedmiu cyfr, od 0 do 6.

Liczba (0, 1, 1) po zamianie na liczbę całkowitą w reprezentacji dziesiętnej wynosi 16.

Patyczki do liczenia (chiń. upr.: 籌; chiń. trad.: 筹; pinyin: chóu; japoński: 算木, sangi) to małe pręciki, zwykle mające 3–14 cm długości, używane przez matematyków w Chinach, Japonii, Korei i Wietnamie. Są one rozkładane poziomo lub pionowo aby przedstawić dowolną liczbę lub ułamek.Szesnastkowy system liczbowy, system heksadecymalny, hex – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Skrót hex pochodzi od angielskiej nazwy hexadecimal. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście znaków (cyfr szesnastkowych).

Dzielenie[ | edytuj kod]

Dzielenie w systemie resztowym jest bardziej skomplikowanie.

Z drugiej strony jeśli jest liczbą pierwszą dla (tzn. dla wszystkich ), wtedy

Ósemkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. System ósemkowy jest czasem nazywany oktalnym od słowa octal. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7.Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze lub, równoważnie, ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się parami względnie pierwszymi.

może być prosto policzone przez

gdzie jest liczbą odwrotną do i jest liczbą odwrotną z modulo (współczynniki mogą zostać wyliczone raz dla danego systemu resztowego).

Rzymski system zapisywania liczb zwany też łacińskim – addytywny system liczbowy, w podstawowej wersji używa 7 znaków.Liczba odwrotna do danej liczby x {displaystyle x;} , to taka liczba y {displaystyle y;} , że x y = 1. {displaystyle xy=1.;}


Podstrony: 1 [2] [3]




Warto wiedzieć że... beta

System Fibonacciego to binarny, pozycyjny system liczbowy, w którym poszczególnym pozycjom odpowiadają kolejne liczby Fibonacciego.
Numeracja Aryabhata to system liczbowy oparty na fonemach sanskrytu. Został wprowadzony na początku VI wieku przez Aryabhata w pierwszym rozdziale zatytułowanym Gītika Padam w jego dziele Aryabhatiya. Polega on na przyporządkowaniu wartości numerycznej każdej sylabie o postaci spółgłoska+samogłoska możliwej w sanskrytowej wymowie. Od ka = 1 do hau = 10.
Piątkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 5. Do zapisu liczb potrzebne jest 5 cyfr: 0, 1, 2, 3 i 4.
Silniowy system pozycyjny – pozycyjny system liczbowy w którym mnożniki poszczególnych pozycji nie są definiowane przez potęgę pewnej liczby (podstawy), lecz silnię kolejnych liczb naturalnych (z zerem), a liczba cyfr używanych na n-tej pozycji wynosi n+1
Większość pozycyjnych dziesiętnych systemów liczbowych na świecie pochodzi z Indii, gdzie narodziła się koncepcja numerologii pozycyjnej. Cyfry hinduskie zwane również indyjskimi znane są w kulturze zachodniej jako cyfry arabskie, gdyż Arabowie rozprzestrzenili je w Europie w średniowieczu. Cyfry pierwotnie zapisywane w sanskrycie rozpropagował perski matematyk Al-Chuwarizmi.
Dziesiętny system liczbowy (system dziesiątkowy, system decymalny (skrót dec), system arabski) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne wielokrotności liczby 10; do zapisu liczb potrzebne jest w nim 10 cyfr, którymi są 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby zapisuje się jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, niekiedy grupowanych po trzy (Okcydent) lub cztery (część Orientu). Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny.
Alfabet hebrajski, nazywany też przez badaczy pismem żydowskim lub pismem kwadratowym – alfabet spółgłoskowy stosowany do zapisu języka hebrajskiego, jidysz, ladino i innych języków żydowskich, wywodzący się z alfabetu aramejskiego, a pośrednio z fenickiego i egipskich hieroglifów. Składa się z 22 znaków, a w przeciwieństwie do alfabetu łacińskiego nie rozróżnia się w nim liter małych i wielkich.

Reklama