Symbol Leviego-Civity

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Wartości symbolu Leviego-Civity w prawoskrętnym układzie współrzędnych.
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity jako trzech macierzy 3×3.
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity dla lewoskrętnego układu współrzędnych (pusty sześcian odpowiada liczbie 0, niebieski liczbie -1 i czerwony liczbie 1).

Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:

Tullio Levi-Civita (ur. 29 marca 1873, zm. 29 grudnia 1941) – matematyk włoski. Laureat Medalu Sylvestera za rok 1922. Symbol Kroneckera, zwany także deltą Kroneckera, to dwuargumentowa funkcja, oznaczana symbolem δi, j, która przyjmuje wartość 1 dla i = j i 0 dla i ≠ j.
{\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{cases}0&{\mbox{gdy }}i=j{\mbox{ lub }}j=k{\mbox{ lub }}k=i\\[2pt]1&{\mbox{gdy }}ijk{\mbox{ to permutacja (i,j,k) parzysta, np. }}(1,2,3)\\[2pt]-1&{\mbox{gdy }}ijk{\mbox{ to permutacja (i,j,k) nieparzysta, np. }}(3,2,1)\end{cases}}}

Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullio Levi-Civita, choć powszechnie stosowaną nazwą symbolu Leviego-Civity jest „epsilon z trzema indeksami”. Wartym wspomnienia jest fakt, iż w rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.

Iloczyn wektorowy – działanie dwuargumentowe przyporządkowujące parze wektorów 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej pewien wektor tej przestrzeni. Definicja intuicyjna: Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego w konwencji Einsteina:

W notacji tensorowej w tej samej konwencji co poprzednio mamy natomiast:

gdzie jest -tym wektorem bazy kontrawariantej.

Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim symbol Leviego-Civity jest wielkością stałą, którego wartość jest zależna od trzech indeksów według przedstawienia (1).

Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera[ | edytuj kod]

Niech mamy podwójny iloczyn wektorowy napisanej jako wzór w punkcie (podwójny iloczyn wektorowy-8) i zdefiniujmy wektory bazy kartezjańskiej prostokątnego układu współrzędnych wedle następującego sposobu:

Wtedy odpowiedniki wektorów występującej we wspomnianym wzorze na podwójny iloczyn wektorowy są w postaci:

Wektory (5) możemy podstawić do wspomnianego powyżej wzoru, wtedy mamy:

Ponieważ wektory (4) są wektorami bazy kartezjańskiej, zatem wedle wzoru (2) możemy napisać:

Jeśli wykorzystamy związek (7), i że wektory (4) są ortonormalne, wtedy przy pomocy symboli Leviego-Civity i symboli Kroneckera równość wynikająca z (6) możemy napisać następująco:

Podstrony: 1 [2] [3]




Reklama