• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Suma prosta przestrzeni liniowych



    Podstrony: [1] [2] [3] 4 [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Bulletin of the American Mathematical Society (skrót: Bull. Amer. Math. Soc.) - czasopismo naukowe o tematyce matematycznej (kwartalnik), wydawane przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. W czasopiście publikowane są artykuły naukowe oraz recenzje. Czasopismo założone pod nazwą Bulletin of the New York Mathematical Society zmieniło nazwę wraz ze zmianą nazwy wydawcy na American Mathematical Society; obecnie na liście filadelfijskiej.Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).
    Suma prosta przestrzeni Banacha[ | edytuj kod]

    Jeżeli jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej

    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Macierz antysymetryczna – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa A = [aij] jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

    nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.

    Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Inaczej mówiąc jest to funkcja o wartościach rzeczywistych.Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

    c0-suma przestrzeni Banacha[ | edytuj kod]

    Jeżeli jest (przeliczalną) rodziną przestrzeni Banacha, to podprzestrzeń

    Cambridge University Press – angielska oficyna wydawnicza, działająca od 1534 na mocy edyktu króla Henryka VIII. Jest najstarszym nieprzerwanie działającym wydawnictwem na świecie. Zajmuje się wydawaniem pozycji naukowych i edukacyjnych, adresowanych do odbiorców na całym świecie, w tym wydawnictwami z zakresu nauczania języka angielskiego jako obcego. Siedzibą wydawnictwa jest Cambridge; jego biura działają w Europie, Ameryce Północnej, Południowej, na Bliskim Wschodzie, w Afryce, Azji i Oceanii.Podprzestrzeń komplementarna – domknięta podprzestrzeń liniowa X danej przestrzeni liniowo-topologicznej E o tej własności, że istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa Y, iż

    tych ciągów dla których

    Koprodukt – pojęcie w teorii kategorii będące uogólnieniem sumy rozłącznej zbiorów i zewnętrznej sumy prostej przestrzeni liniowych. Koprodukt jest konstrukcją dualną do produktu.Zbiór skończony − zbiór o skończonej liczbie elementów. Nieujemną liczbę naturalną określającą ilość elementów zbioru skończonego nazywa się mocą zbioru. Zbiór skończony ma moc skończoną. Najmniejszym zbiorem skończonym jest zbiór pusty  Ø.

    jest przestrzenią Banacha z normą

    Stefan Banach (ur. 30 marca 1892 w Krakowie, zm. 31 sierpnia 1945 we Lwowie) – polski matematyk, jeden z przedstawicieli lwowskiej szkoły matematycznej.Krzysztof Maurin /fon. "Morę"/ (ur. 14 lipca 1923 w Warszawie) – polski matematyk i fizyk matematyczny, od 1966 r. profesor zwyczajny matematyki na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, obecnie emerytowany.

    Podprzestrzeń nazywana jest czasem sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem

    Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzoremOperator liniowy ograniczony T to taki operator liniowy pomiędzy unormowanymi przestrzeniami X i Y, że istnieje pewna liczba nieujemna C, która dla każdego x należącego do X spełnia

    Analogicznie definiuje się sumy typu gdzie jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.

    Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

    l-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta[ | edytuj kod]

    Jeżeli jest rodziną przestrzeni Banacha oraz to podprzestrzeń

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

    złożona z tych elementów dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów jest niezerowych oraz szereg

    Aleksiej Iwanowicz Kostrikin, ros. Алексей Иванович Кострикин (ur. 12 lutego 1929, zm. 22 września 2000 w Moskwie) był rosyjskim matematykiem specjalizującym się w geometrii algebraicznej.Iloczyny (produkty) grup – w teorii grup są to sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

    jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą

    Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

    Przestrzeń nazywana jest -sumą rodziny i oznaczana symbolem

    Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.Twierdzenie o rzucie ortogonalnym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta istnieje ortogonalna podprzestrzeń komplementarna do wybranej. Ma ono szereg zastosowań nie tylko w analizie funkcjonalnej (np. dowód twierdzenia Riesza), ale również m.in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

    Jeżeli i są dowolnymi liczbami z przedziału to normy w – i -sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są równoważne.

    Definicja intuicyjna: Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa A = [ a i j ] {displaystyle scriptstyle mathbf {A} =[a_{ij}]} stopnia n , {displaystyle scriptstyle n,} która dla i , j = 1 , … , n {displaystyle scriptstyle i,j=1,dots ,n} spełnia warunek

    W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie przestrzeniami Hilberta, to ich -suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu suma prostą przestrzeni Hilberta (dolny indeks w oznaczeniu najczęściej pomija się). Iloczyn skalarny elementów i w sumie prostej spełnia warunek

    Pojęcie -sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day, natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego.

    Suma prosta operatorów ograniczonych[ | edytuj kod]

    Jeżeli jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio, i tj.

    to dla ustalonego definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych -sumę rodziny tj. operator

    zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem -sumy. W szczególności, -suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz

    Jeżeli są przestrzeniami Hilberta, to -sumę operatorów nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.

    Zobacz też[ | edytuj kod]

  • iloczyny grup
  • iloczyn prosty
  • Przypisy[ | edytuj kod]



    Podstrony: [1] [2] [3] 4 [5] [6]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.135 sek.