• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Stan stacjonarny - fizyka



    Podstrony: [1] 2 [3]
    Przeczytaj także...
    Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.Fizyka klasyczna – określenie wszystkich gałęzi fizyki, które w swych badaniach z rozmaitych względów nie uwzględniają efektów kwantowych. Obejmuje między innymi:
    Stan stacjonarny w fizyce kwantowej[ | edytuj kod]

    W teorii kwantowej stan stacjonarny jest rozumiany dokładnie tak samo, jak w mechanice klasycznej, tzn. jako stan, w którym całkowita energia układu nie ulega zmianie w czasie, czyli:

    mimo że energia kinetyczna i potencjalna układu mogą zmieniać się. Różnica polega na tym, że układy rozpatrywane w mechanice kwantowej są układami mikroskopowymi. Np. drgania cząsteczki gazu HCl można traktować jako drgania układu izolowanego – analogicznie jak np. drgania ciała na sprężynie w klasycznej fizyce – chociaż do uzyskania zgodności opisu teoretycznego z pomiarami trzeba użyć równania Schrödingera zamiast równań Newtona. Ponadto stan układu nie jest określony za pomocą trajektorii, ale rozwiązaniem równania Schrödingera jest funkcja falowa, która pozwala określić jedynie prawdopodobieństwa znalezienia układu w różnych możliwych stanach w danej chwili.

    Grawitacja (ciążenie powszechne) – jedno z czterech oddziaływań podstawowych, będące zjawiskiem naturalnym polegającym na tym, że wszystkie obiekty posiadające masę oddziałują na siebie wzajemnie przyciągając się.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

    Równania Schrödingera układów zachowawczych[ | edytuj kod]

    Jeżeli układ kwantowy jest izolowany od otoczenia lub otoczenie oddziałuje na niego, ale tak, że siły oddziaływań są zachowawcze, to energia całkowita układu nie ulega zmianie w czasie. Układy takie nazywa się zachowawczymi.

    Emisja promieniowania to wysyłanie przez wzbudzony układ fizyczny (np. atom, jądro atomowe, ciało makroskopowe) energii w postaci promieniowania zarówno fal (np. światła, fal radiowych, dźwięku), jak i korpuskularnego (np. elektronów, cząstek α, fotonów).Kwantowy oscylator harmoniczny – układ fizyczny rozmiarów atomowych lub subatomowych (np. jon w sieci krystalicznej lub w cząsteczka gazu) wykonujący ruch drgający (oscylacyjny) pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi. Właściwy opis ruchu wymaga zastosowania mechaniki kwantowej, co sprowadza się do znalezienia rozwiązań równania Schrödingera. Dowodem eksperymentalnym konieczności zastosowania mechaniki kwantowej do opisu właściwości mikroskopowych układów drgających jest np. nieciągłe widmo promieniowania emitowane przez drgające cząsteczki. Makroskopowym odpowiednikiem oscylatora kwantowego jest klasyczny oscylator harmoniczny, którym jest ciało makroskopowe o stosunkowo dużej masie, zawieszone np. na sprężynie i wykonujące drgania; do opisu jego ruchu wystarczająca jest mechanika klasyczna. Pojęcie oscylatora ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki klasycznej i kwantowej.

    Według mechaniki klasycznej układ zachowawczy posiada ściśle określoną energię. Według mechaniki kwantowej jest inaczej: energia średnia jest ściśle określona, ale stan energii układu nie jest dokładnie określony. Aby to pokazać, trzeba rozwiązać ogólne równanie Schrödingera

    gdzie:

    Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.Operator Hamiltona (hamiltonian, operator energii) – w mechanice kwantowej odpowiednik funkcji Hamiltona zwanej hamiltonianem. Jest to operator działający nad przestrzenią funkcji falowych stanów układu fizycznego (lub nad przestrzenią Hilberta wektorów stanu). Wartością własną operatora Hamiltona jest energia cząstki opisywanej daną funkcją własną, natomiast wartością średnią operatora Hamiltona jest energia cząstki w danym stanie kwantowym. Matematycznie, operator Hamiltona jest obserwablą, a więc jest operatorem samosprzężonym.
    – wektor położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej (dla pojedynczej cząstki wektor ten jest wektorem położenia w przestrzeni rzeczywistej), – energia potencjalna układu niezależna od czasu.

    Niezależności od czasu jest tu istotna. (Nie można jej przyjąć w przypadku, gdy układ znajduje się w polu sił niezachowawczych – wtedy wielkość zależy od czasu, wtedy poniższe rozważania nie są słuszne).

    Przestrzeń konfiguracyjna to formalna, matematyczna przestrzeń będąca zbiorem możliwych stanów danego układu fizycznego. W zależności od rodzaju i liczby wyróżnionych parametrów stanu przestrzenie konfiguracyjne mogą mieć wiele wymiarów. Stany prostych układów dynamicznych opisuje się najczęściej jako zbiory punktów przestrzeni pędów bądź prędkości: np. stan kwantowego gazu elektronowego opisuje się przy użyciu przestrzeni prędkości z wyróżnioną kulą Fermiego zaś dynamikę punktu materialnego w polu sił (np. pole grawitacyjne) zewnętrznych za pomocą przestrzeni pędów.Cząstka w pudle potencjału – zagadnienie z dziedziny mechaniki kwantowej opisujące zachowanie cząstki w obecności ograniczających jej ruch nieskończonych barier potencjału. Cząstka w pudle potencjału jest szczególnym przypadkiem szerszego problemu cząstki w studni potencjału.

    Z teorii równań różniczkowych wynika, że równanie to ma rozwiązania w postaci

    gdzie jest pewną stałą mającą sens energii całkowitej układu. Wstawiając tę postać rozwiązania do równania Schrödingera, otrzymuje się – po skróceniu obu stron równania przez czynnik równanie Schrödingera niezależne od czasu

    Energia potencjalna – energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].Absorpcja ze stanów wzbudzonych - (ang. Excited State Absorption, ESA) polega na absorpcji energii przez uprzednio wzbudzony atom, jon, cząsteczkę itp. Proces w zasadzie podobny do "zwykłej" absorpcji, zachodzi jednak ze wzbudzonego poziomu. Pomiary ESA niosą wiele informacji. Pozwalają rozstrzygnąć czy badany materiał może wzmacniać światło, czy może zachodzić w nim konwersja promieniowania (ang. up-conversion) itp. Pomiar trudny technologicznie - rzadko wykonywany. Znane ośrodki to Hamburg, Lyon, Caen oraz Uniwersytet Mikołaja Kopernika (IF) w Toruniu.

    Równanie to jest łatwiejsze do rozwiązania niż równanie ogólne. Można je zapisać w postaci symbolicznej

    Siła jest zachowawcza, jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu. Praca ta nie zależy wówczas również od prędkości przemieszczania ciała.Teoria perturbacji (nazywana też rachunkiem zaburzeń) jest zbiorem metod matematycznych, które są używane do znalezienia przybliżonego rozwiązania problemu, który nie może być rozwiązany w sposób ścisły, dostarczając bezpośrednie rozwiązanie problemu. Teoria perturbacji może być zastosowana do rozwiązania problemu, gdy można go przedstawić jako część dającą bezpośrednie rozwiązanie i stosunkowo mały człon zaburzający.

    gdzie wielkość jest nazywana operatorem Hamiltona.

    Teoria kwantowa - a właściwie kwantowe teorie to teorie szczegółowe modele fizyczne, które za swą podstawę teoretyczną przyjmują mechanikę kwantową. Często nazwa teoria kwantowa jest używana jako synonim mechaniki kwantowej.Wahadło – ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

    Z powyższej postaci równania Schrödingera widać, że jego rozwiązanie polega na rozwiązaniu tzw. zagadnienia własnego dla operatora Hamiltona. Otrzymane stąd wartości energii i odpowiadające im funkcje nazywa się odpowiednio energiami własnymi i funkcjami własnymi operatora

    Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Opisuje ono ewolucję układu kwantowego w czasie. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.

    Przy tym różne rozwiązania na energię oraz stany własne hamiltonianu otrzymuje się w zależności od postaci funkcyjnej energii potencjalnej które dobiera się odpowiednio do rozpatrywanego układu kwantowego. (Przekierowania do konkretnych przykładów wymieniono w sekcji Zobacz też).

    Jeżeli układ kwantowy ma całkowitą energię mniejszą od zera (tzw. układ związany), to otrzymane w rozwiązaniu równania Schrödingera energie przyjmują dyskretne wartości

    Odpowiadające im stany własne hamiltonianu oznacza się jako

    Stan ogólny zachowawczego układu kwantowego[ | edytuj kod]

    Rozwiązanie ogólnego równania Schrödingera odpowiadającego energii ma więc postać

    Ponieważ równanie Schrödingera jest równaniem liniowym, to jego ogólne rozwiązanie jest superpozycją (sumą) powyższych rozwiązań, mnożonych przez niezależne od współczynniki zespolone

    Rozkłady prawdopodobieństw stanów kwantowych[ | edytuj kod]

    W zależności od tego, jak układ kwantowy został przygotowany, odróżnia się dwie sytuacje.

    Stany stacjonarne[ | edytuj kod]

    Rozkłady prawdopodobieństwa znajdowania się elektronu w różnych położeniach w atomie wodoru w stanach stacjonarnych

    Jeżeli układ w chwili przygotowano w stanie własnym energii

    to rozkład prawdopodobieństwa dla takiego stanu jest niezależny od czasu

    Taki stan nazywa się stanem stacjonarnym.

    Stany niestacjonarne[ | edytuj kod]

    Jeżeli układ w chili przygotowano w stanie superpozycji stanów własnych hamiltonianu

    to rozkład prawdopodobieństwa dla takiego stanu zmienia się w czasie. Aby to pokazać przyjmijmy dla prostoty zapisu, że funkcja falowa jest superpozycją trzech stanów własnych hamiltonianu

    Otrzymane stąd prawdopodobieństwo ma postać

    Widać, że występują czynniki oscylujące z częstotliwościami

    Trzy przykładowe stany oscylatora kwantowego obliczone z równanie Schrödingera. Z lewej: Część rzeczywista (kolor niebieski) i część urojona (kolor czerwony) funkcji falowych Z prawej: Rozkłady prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w zależności od położenia odpowiadające tym funkcjom falowym. Dwa górne rzędy pokazują stany stacjonarne – tworzą je funkcje falowe mające postać fal stojących, a odpowiadające im rozkłady prawdopodobieństwa są stałe w czasie; stany te są funkcjami własnymi hamiltonianu. Dolny rząd pokazuje stan niestacjonarny: jest on superpozycją dwu stanów własnych hamiltonianu; rozkład prawdopodobieństwa zmienia się w czasie.

    Częstotliwości oscylacji prawdopodobieństwa odpowiadają częstotliwościom promieniowania, jakie układ może emitować lub absorbować. Faktycznie obserwuje się zjawisko promieniowania przez atomy czy cząsteczki. Gdyby jednak układ nie oddziaływał z otoczeniem, jak to zakładaliśmy dotąd (przyjmując np. niezależność od czasu potencjału ), to nigdy nie nastąpiłaby emisja czy absorpcja energii. Żaden układ nie jest jednak idealnie odizolowany od otoczenia, lecz oddziałuje z nim, co powoduje, że potencjał zależy od czasu. Rozwiązanie równania Schrödingera z potencjałem zależnym od czasu jest na ogół trudnym zagadnieniem. Dlatego upraszcza się obliczenia: zaniedbuje się perturbacje (zaburzenia) stanu układu wnoszone przez oddziaływanie z otoczeniem, co pozwala założyć, że hamiltonian układu nie zależy od czasu. Wtedy zamiast ogólnego równania Schrödingera mamy równania bez czasu. W ten sposób np. Schrödinger wyznaczył stany stacjonarne gazowego wodoru (zobacz schemat wyżej). Taką samą metodę stosuje się do innych układów (zobacz stany stacjonarne oscylatora kwantowego), jeżeli można przyjąć, że słabo oddziałują z otoczeniem.

    Mówienie o stanach stacjonarnych układów kwantowych jest więc użyteczną idealizacją. Rzeczywiście stacjonarnym stanem układu jest stan podstawowy. Stany wzbudzone (o energii wyższej od stanu podstawowego) ulegają z upływem czasu przejściom do stanów o niższej energii na skutek istniejącego oddziaływania z otoczeniem.

    Średnie energia i położenie układu kwantowego[ | edytuj kod]

    W rozdziale tym zostanie pokazane podobieństwo między układem kwantowym nie oddziałującym z otoczeniem a układem klasycznym w stanie stacjonarnym. Dla prostoty ograniczymy się do przypadku układu opisanego 1-wymiarową funkcją falową.

    Jeżeli układ kwantowy nie oddziałuje z otoczeniem, to jego stan jest superpozycją stanów własnych operatora Hamiltona:

    gdzie są wartościami energii, jakie układ może posiadać, są liczbami rzeczywistymi o wartościach zależnych od sposobu przygotowania układu w stanie superpozycji. Jeżeli stan jest unormowany do 1, to kwadrat modułu współczynnika stojącego przy stanie mają sens prawdopodobieństwa, że pomiar energii układu da wartość

    Formalizm mechaniki kwantowej nie przypisuje więc układowi w stanie superpozycji żadnej konkretnej wartości energii. Energia ta jest określona z pewną nieoznaczonością. Jednak średnia wartość energii układu kwantowego jest ściśle określona:

    co daje

    Widać, że wartość ta jest stała, niezależna od czasu. Istnieje tu pewna analogia do klasycznego układu w stanie stacjonarnym, który posiada ściśle określoną energię.

    W poprzednim rozdziale zostało pokazane, że rozkład prawdopodobieństwa stanu będącego superpozycją stanów zmienia się w czasie. Pokażemy, że zmienia się także średnie położenie układu.

    Średnie położenie w chwili można obliczyć ze wzoru

    gdzie jest rozkładem prawdopodobieństwa w chwili (Analogicznie liczy się średnie położenie dla układu o większej liczbie stopni swobody).

    Np. prawdopodobieństwo oscylatora kwantowego (zobacz schemat pokazany wyżej) przemieszcza się w czasie, a tym samym średnie położenie układu kwantowego porusza się po ściśle określonej trajektorii. Ruch ten przypomina ruchu układu klasycznego. W odróżnieniu od układu klasycznego położenie układu kwantowego jest określone z pewną nieoznaczonością. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej stany uważane za stacjonarne w mechanice klasycznej (np. ruchy planet), odbywające się po ściśle trajektorii, muszą więc być superpozycjami stanów własnych operatora Hamiltona; energie tych stanów leżą bardzo blisko średniej energii; dlatego nieoznaczoność energii stanów klasycznych jest poniżej możliwości doświadczalnego jej zmierzenia.

    Zobacz też[ | edytuj kod]

  • cząstka w pudle potencjału
  • kwantowy oscylator harmoniczny
  • rachunek zaburzeń


  • Podstrony: [1] 2 [3]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.065 sek.