Splot (analiza matematyczna)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Splot, splot całkowy, mnożenie splotowe lub konwolucja – działanie określone dla dwóch funkcji (lub opisywanych przez nie sygnałów) dające w wyniku inną, która może być postrzegana jako zmodyfikowana wersja oryginalnych funkcji. Nazwą tą określa się również wynik tego działania, które bywa nazywane także iloczynem (lub produktem) splotowym. Splot podobny jest do korelacji wzajemnej.

Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5

Znajduje zastosowania także m.in. w statystyce, równaniach różniczkowych, elektrotechnice, cyfrowym przetwarzaniu obrazów czy sygnałów – na przykład, w przetwarzaniu obrazów operacja splotu obrazu źródłowego z odpowiednio skonstruowanym filtrem pozwala na wykrycie krawędzi (np. filtr Sobela), rozmycie obrazu (np. filtr Gaussa) oraz pozwala na ekstrakcję cech kształtów przy rozpoznawaniu wzorców obiektów w obrazie (falki Gabora), jak i wielu innych.

Szybka transformacja Fouriera (ang. FFT od Fast Fourier Transform) to algorytm liczenia dyskretnej transformaty Fouriera oraz transformaty do niej odwrotnej.Sygnał to abstrakcyjny model dowolnej mierzalnej wielkości zmieniającej się w czasie, generowanej przez zjawiska fizyczne lub systemy. Tak jak wszystkie zjawiska może być opisany za pomocą aparatu matematycznego, np. poprzez podanie pewnej funkcji zależnej od czasu. Mówimy, że sygnał niesie informację lub też umożliwia przepływ strumienia informacji.

Operacja odwrotna do splotu nazywana jest rozplotem.

Istnienie i określenie[ | edytuj kod]

Niech i są bezwzględnie całkowalne w przedziale innymi słowy, są całkowalne w sensie Lebesgue’a, czyli należą do przestrzeni

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie (AGH; dawniej: Akademia Górnicza w Krakowie; nazwa międzynarodowa: AGH University of Science and Technology; dawniej: University of Mining and Metallurgy) – jedna z największych polskich wyższych uczelni, została powołana 8 kwietnia 1919 uchwałą Rady Ministrów. Jest zaliczana do najlepszych uczelni technicznych w kraju. Według ogólnoświatowego rankingu szkół wyższych Webometrics Ranking of World Universities z lipca 2013, opracowanego przez hiszpański instytut Consejo Superior de Investigaciones Científicas uczelnia zajmuje 3. miejsce w Polsce wśród uczelni technicznych, a na świecie 526. pośród wszystkich typów uczelni.Autokorelacja – jest narzędziem matematycznym często używanym w przetwarzaniu sygnałów do analizowania funkcji lub serii wartości. Mniej formalnie jest to statystyka opisująca, w jakim stopniu dany wyraz szeregu zależy od wyrazów poprzednich w szeregu czasowym. Autokorelacja jest funkcją, która argumentowi naturalnemu k przypisuje wartość współczynnika korelacji Pearsona pomiędzy szeregiem czasowym a tym samym szeregiem cofniętym o k jednostek czasu.

Wówczas wzór:

określa funkcję zdefiniowaną dla prawie wszystkich liczb rzeczywistych Funkcję nazywa się splotem (dwustronnym) funkcji z funkcją i na mocy twierdzenia Fubiniego utożsamia się z elementem przestrzeni

Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.Statystyka (niem. Statistik, „badanie faktów i osób publicznych”, z łac. [now.] statisticus, „polityczny, dot. polityki”, od status, „państwo, stan”) – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.

W zastosowaniach często ogranicza się do założenia o zbieżności całek niewłaściwych Riemanna na całej prostej tych funkcji oraz ich modułów.

Splot bramki napięcia (jako sygnału wejściowego) i odpowiedzi impulsowej obwodu RC, obliczony dla uzyskania przebiegu sygnału wyjściowego Całka iloczynu jest zaznaczona obszarem żółtym. W obu animacjach wynik splotu jest taki sam.
Splot2.gif

Struktura algebry Banacha[ | edytuj kod]

Przestrzeń z dodatkowym działaniem splotu jest algebrą przemienną, tzn. splot jest działaniem:

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z EleiElektrotechnika (inżynieria elektryczna) - dziedzina techniki i nauki, która zajmuje się zagadnieniami związanymi z wytwarzaniem, przetwarzaniem (przekształcaniem), przesyłaniem, rozdziałem, magazynowaniem i użytkowaniem energii elektrycznej.
  • przemiennym
  • (wynika to z możliwości zastosowania podstawienia ),
  • łącznym
  • rozdzielnym względem dodawania
  • łącznym względem mnożenia przez skalary
  • gdzie oraz jest skalarem.

    Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

    Dla normy splotu funkcji z funkcją zachodzi oszacowanie

    a więc algebra jest przemienną algebrą Banacha bez jedynki. Jedynkę można aproksymować w następującym sensie: jeśli jest elementem przestrzeni to istnieje taki ciąg elementów o normie 1, że

    Imiesłów przymiotnikowy przeszły bierny – część mowy tworzona poprzez dodanie przyrostka -ny, -ony (także -’ony ← -’eny), -ty do tematu czasu przeszłego danego czasownika (np. pisać → pisa-ć → pisa-ny, zrobić → zrobi-ć → zrobi-ony, nieść → niós-ł (← nies-ł) → nies-’ony → niesiony). Podobnie jak przymiotnik odmienia się przez liczby, przypadki i rodzaje. W przeciwieństwie do przymiotnika nie odmienia się przez stopnie.Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Lokalnie zwarte grupy topologiczne[ | edytuj kod]

    Definicja splotu funkcji przenosi się mutatis mutandis na przypadek lokalnie zwartej grupy topologicznej z lewostronnie niezmienniczą miarą Haara Dokładniej, jeżeli i są elementami to wzór

    Filtr jest to fragment obwodu elektrycznego lub obwodu elektronicznego odpowiedzialny za przepuszczanie lub blokowanie sygnałów o określonym zakresie częstotliwości lub zawierającego określone harmoniczne.Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:

    określa funkcję zdefiniowaną dla prawie każdego elementu grupy Podobnie jak w przypadku miary Lebesgue’a (która jest miarą Haara grupy addytywnej zbioru liczb rzeczywistych) przestrzeń tworzy z działaniem splotu algebrę Banacha, która jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy grupa jest przemienna.

    Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.Przestrzeń probabilistyczna – struktura umożliwiająca modelowanie doświadczenia losowego poprzez wskazanie zdarzeń losowych i przypisanie im prawdopodobieństwa.

    Splot cykliczny (kołowy)[ | edytuj kod]

    Splot okresowej bramki napięcia (jako sygnału wejściowego) i odpowiedzi impulsowej h(t) obwodu RC, obliczony dla uzyskania przebiegu sygnału wyjściowego Całka iloczynu jest zaznaczona obszarem żółtym. W obu animacjach wynik splotu jest taki sam.
    Splotc2.gif

    Dla funkcji okresowej o okresie splot z inną funkcją jest także okresowy, i może być wyrażony za pomocą całki w skończonym przedziale:

    Całka niewłaściwa — rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.Całka Lebesgue’a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a. Rozszerzenie dotyczy także dziedziny, na której mogą być określone funkcje podcałkowe.

    gdzie jest czasem początkowym,

    Operator Sobela jest jednym z operatorów (Krzyż Robertsa, Prewitt, Scharr) używanych do wykrywania krawędzi w cyfrowym przetwarzaniu obrazów. Jest to w istocie operator dyskretnego różniczkowania, umożliwiający aproksymację pochodnych kierunkowych intensywności obrazu w ośmiu kierunkach co 45°. Operator ten został po raz pierwszy przedstawiony w referacie wygłoszonym w roku 1968 przez Irwina Sobela (współautor Jerome Arthur Feldman), którego tekst nie został opublikowany lecz mimo to jest powszechnie cytowany.Skalar – w algebrze (liniowej) element ustalonego ciała nad którym zbudowany jest dowolny moduł (przestrzeń liniowa).

    są sumą okresową zdefiniowaną jako:

    Dekonwolucja (rozplot, ang. deconvolution) – w matematyce proces odwrotny do splotu funkcji. W cyfrowym przetwarzaniu sygnałów nazywa się czasem „odplataniem” sygnałów (w przeciwieństwie do ich splatania). Polega ona na określeniu funkcji opisującej zakłócenia (np. szum o charakterze funkcji harmonicznej) w celu ich odfiltrowania od zarejestrowanych danych i uzyskania niezakłóconych danych (np. uzyskanie ostrego obrazu z zamazanego zdjęcia).Grigorij Michajłowicz Fichtenholz (ros. Григорий Михайлович Фихтенгольц, ur. 5 czerwca 1888 w Odessie, zm. 25 czerwca 1959 w Leningradzie), rosyjski matematyk pochodzenia niemieckiego.
    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Warto wiedzieć że... beta

    Cyfrowe przetwarzanie obrazów (ang. digital image processing, DIP) – dziedzina cyfrowego przetwarzania sygnałów. Zajmuje się reprezentacją obrazu w postaci cyfrowej oraz komputerowymi algorytmami przetwarzania i akwizycji obrazów cyfrowych.
    Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.
    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
    Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz spełnia warunek
    Walter Rudin (ur. 2 maja 1921 w Wiedniu, zm. 20 maja 2010) – amerykański matematyk związany z Uniwersytetem Wisconsin–Madison.
    Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.
    Miara Lebesgue’a (czyt. „lebega”) – pojęcie teorii miary formalizujące i uogólniające intuicje związane z takimi pojęciami (w zależności od wymiaru) jak długość, pole powierzchni czy objętość bryły. Historycznie pojęcie miary (nazywanej dziś miarą Lebesgue’a) pochodzi z pracy Henriego Lebesgue’a, dotyczącej rozszerzenia pojęcia całki na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż przedziały domknięte (tzw. całka Lebesgue’a).

    Reklama