Rotacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rotacja lub wirowośćoperator różniczkowy działający na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako

Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole nie posiadające potencjału jest polem wirowym).

Definicja formalna[ | edytuj kod]

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora :

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).Twierdzenie Helmholtza – twierdzenie wielowymiarowego rachunku różniczkowego pochodzące od niemieckiego matematyka i fizyka Hermanna von Helmholtza.

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

Geometria różniczkowa – dziedzina geometrii, badająca krzywe, powierzchnie i ich wielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami, opierając się na geometrii analitycznej, szeroko stosując metody analizy matematycznej, głównie rachunku różniczkowego.Potencjał - pole skalarne określające pewne pole wektorowe. W fizyce dla wielu pól różnica potencjałów w dwóch punktach określa ilość energii koniecznej do przemieszczenia ciała z jednego punktu do drugiego.

gdzie:

Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe.
g – tensor metryczny, – zwężenie formy objętości z rot(F).

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich[ | edytuj kod]

W kartezjańskim układzie współrzędnych mamy więc

Iloczyn wektorowy – działanie dwuargumentowe przyporządkowujące parze wektorów 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej pewien wektor tej przestrzeni. Cyrkulacja (krążenie) – operator wprowadzony początkowo w dynamice płynów następnie uogólniony na wszystkie pola wektorowe, dla danego pola definiuje wielkość skalarną. Cyrkulacja oznaczana jest zwyczajowo przez Γ {displaystyle mathbf {Gamma } } .
Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

gdzie wersorami osi układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

Rotacja w innych układach współrzędnych[ | edytuj kod]

W układzie współrzędnych walcowych:

W układzie współrzędnych sferycznych:

Notacja Einsteina[ | edytuj kod]

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

Własności rotacji[ | edytuj kod]

Oznaczając przez pola wektorowe, przez pole skalarne dla zachodzą następujące własności:

  • rotacja jest operatorem liniowym dla liczb rzeczywistych
  • rotacja gradientu jest zerowa
  • rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
  • rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:
  • rotacja z rotacji pola wektorowego :
  • każde pole o zerowej rotacji można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że ); zob. twierdzenie Helmholtza.
  • Przypisy[ | edytuj kod]

    1. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIX. Warszawa: PWN, 2002, s. 676–677. ISBN 83-01-11658-7.




    Reklama