Punkt osobliwy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Każdą funkcję holomorficzną, czyli funkcję w przestrzeni liczb zespolonych określoną przez równania Cauchy'ego-Riemanna, można rozwinąć w szereg potęgowy, tzw. szereg Laurenta, tak jak funkcję o wartościach rzeczywistych w szereg Taylora. Wyrazy rozwinięcia, w których wykładniki potęg są dodatnie, nazywa się częścią regularną, zaś te, w których są one ujemne, nazywa się częścią osobliwą. Rząd osobliwości zależy od największego z ujemnych wykładników. Taka osobliwość bywa nazywana biegunem lub punktem osobliwym.

Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

Istnienie punktu osobliwego jest związane z koniecznością omijania tego punktu, w którym wartość funkcji byłaby nieskończona i obliczania całek konturowych. W formalizmie tym stosowane są lematy Jordana, które uzasadniają upraszczanie się całki na łukach konturu oraz twierdzenie o residuach.

Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z przestrzenią trówymiarową umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.Twierdzenie o residuach – twierdzenie analizy zespolonej dostarczające metody obliczania wartości całek krzywoliniowych funkcji meromorficznych. Uogólnia ono twierdzenie Cauchy’ego (orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zeru). Twierdzenie o residuach umożliwia obliczenie niektórych bardziej złożonych całek rzeczywistych.

Punkt rozgałęzienia funkcji nie musi być punktem osobliwym, wynika z istnienia funkcji wielowartościowych i płatów Riemanna, na których funkcja zmienia wartość zespoloną.

Analiza zespolona[ | edytuj kod]

Podstawą obliczeń wykorzystujących istnienie punktów osobliwych funkcji jest twierdzenie o residuach: każdą całkę konturową, w której jest n punktów osobliwych, można zamienić na n całek po konturach będących okręgami otaczającymi te osobliwości.

Całka krzywoliniowa – całka, w której całkowana funkcja przyjmuje wartości wzdłuż pewnej krzywej (regularnej). Gdy krzywa całkowania jest zamknięta, to całkę nazywa się niekiedy całką okrężną.Funkcja Greena, propagator - funkcja stanowiąca jądro operatora całkowego, będącego odwrotnym do operatora różniczkowego w zwyczajnym bądź cząstkowym równaniu różniczkowym wraz z warunkami początkowymi lub brzegowymi.

Istotne w takim rachunku jest właściwe wyznaczenie biegunów funkcji i określenie konturu całkowania.

Kalkulator nie obliczy całki po obszarze zawierającym punkt osobliwy, ponieważ procesor dokonuje obliczeń stosując jedynie metodę kwadratur.

Fizyka[ | edytuj kod]

Zagadnienie to bywa dyskutowane przy wyznaczaniu funkcji Greena niejednorodnego równania falowego, czyli równania falowego ze źródłami, np. w przestrzeni Minkowskiego. Stosowane również do wyznaczania amplitudy rozpraszania na bryłach z wierzchołkami, np. na stożku.

Równania Cauchy’ego-Riemanna – w analizie zespolonej, dziale matematyki, dwa równania różniczkowe cząstkowe noszące nazwiska Augustina Cauchy’ego i Bernharda Riemanna będące warunkami koniecznym i dostatecznym na to, aby funkcja różniczkowalna była holomorficzna w zbiorze otwartym.Funkcja holomorficzna – główny obiekt badań analizy zespolonej; funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych C {displaystyle mathbb {C} } o wartościach w C {displaystyle mathbb {C} } , która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru.




Warto wiedzieć że... beta

Punkt rozgałęzienia funkcji analitycznej wieloznacznej f {displaystyle f;} to taki punkt z 0 {displaystyle z_{0};} , że przedłużając analitycznie tę funkcję dookoła z 0 {displaystyle z_{0};} za pomocą łańcucha kół K 0 , K 1 , K 2 , … K n , {displaystyle K_{0},K_{1},K_{2},dots K_{n},} takich że:
Łuk regularny – taka krzywa, że w każdym jej punkcie istnieje styczna do niej. Każdy łuk regularny jest krzywą prostowalną.

Reklama