Proces Wienera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Pojedyncza trajektoria (jednowymiarowego) procesu Wienera

Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywanym ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występujące w ekonomii, finansach czy fizyce.

Rafał Latała (ur. 24 listopada 1971 w Warszawie) – polski matematyk, profesor nauk matematycznych. Specjalizuje się w rachunku prawdopodobieństwa. Profesor nadzwyczajny w Instytucie Matematyki Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.σ-ciało zbiorów cylindrycznych – w matematyce, a szczególnie w teorii miary i analizie funkcjonalnej, σ-ciało wykorzystywane często podczas studiów nad miarami probabilistycznymi i zmiennymi losowymi na przestrzeniach Banacha.

W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, na przykład, procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej, procesu Wienera używa się, m.in., do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz używa się go do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).

Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).Zbiór A {displaystyle A} przestrzeni ( X , τ ) {displaystyle (X, au )} nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

W fizyce, proces Wienera używa się do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnorakich procesów dyfuzyjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiązanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.

Prawo iterowanego logarytmu to zespół twierdzeń z rachunku prawdopodobieństwa opisujących rozmiar fluktuacji w błądzeniu przypadkowym.Nationalencyklopedin – największa, szwedzka encyklopedia współczesna. Jej stworzenie było możliwe dzięki kredytowi w wysokości 17 mln koron, którego udzielił rząd szwedzki w 1980 roku i który został spłacony w 1990. Drukowana wersja składa się z 20 tomów i zawiera 172 tys. haseł. Wersja internetowa zawiera 260 tys. haseł (stan z czerwca 2005). Inicjatorem projektu był rząd szwedzki, który rozpoczął negocjacje z różnymi wydawcami. Negocjacje zakończyły się w 1985, kiedy na wydawcę został wybrany Bra Böcker z Höganäs. Encyklopedia miała uwzględniać kwestie genderowe i związane z ochroną środowiska. Pierwszy tom ukazał się w 1989 roku, ostatni w 1996. Dodatkowo w roku 2000 ukazały się trzy dodatkowe tomy. Encyklopedię zamówiło 54 tys. osób. W 1997 roku ukazało się wydanie elektroniczne na CD, a w 2000 pojawiło się wydanie internetowe, które jest uzupełniane na bieżąco.

Definicja[ | edytuj kod]

Proces stochastyczny na przestrzeni probabilistycznej nazywa się (standardowym) procesem Wienera, gdy spełnia następujące warunki:

Zbiór gęsty – zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny. W przestrzeni metrycznej ( X , d ) {displaystyle (X,d)} zbiór D ⊂ X {displaystyle Dsubset X} nazywamy gęstym jeśli dla każdego x ∈ X {displaystyle xin X} i liczby ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} istnieje element q ∈ D {displaystyle qin D} taki, że d ( x , q ) < ε {displaystyle d(x,q)<varepsilon } , tzn. dowolnie blisko każdego elementu x ∈ X {displaystyle xin X} znajduje się jakiś element z D {displaystyle D} .Ruchy Browna − chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
  1. prawie na pewno,
  2. proces ten ma przyrosty niezależne, tj. dla wszelkich zmienne losowe
są niezależne, 3. dla wszelkich 4. trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór że oraz dla wszelkich funkcja jest ciągła.

Niektórzy autorzy zakładają, że oraz że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe.

Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.Równanie Langevina - stochastyczne równanie różniczkowe bazujące na równaniu Newtona. Zaproponowane zostało po raz pierwszy w 1906 roku przez Paula Langevina do opisu ruchów Browna.


Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




Warto wiedzieć że... beta

Szum czerwony, szum Browna (ang. red noise, Brown noise, Brownian noise) – rodzaj szumu wytwarzanego podczas ruchów Browna; energia takiego szumu skupiona jest w zakresie niskich częstotliwości w stopniu jeszcze większym, niż ma to miejsce w szumie różowym. Widmo takiego szumu opada w miarę wzrostu częstotliwości odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu tej częstotliwości, tzn. jego widmowa gęstość mocy proporcjonalna jest do /f, czyli opada 6 dB na oktawę (20 dB na dekadę). Szum czerwony może być wygenerowany przez scałkowanie szumu białego.
Uniwersytet Warszawski – polska uczelnia państwowa, założona 19 listopada 1816 roku w Warszawie. Najlepszy uniwersytet w Polsce według The Times Higher Education Supplement (QS World University Rankings). W rankingu szanghajskim (ARWU) z 2012 roku uczelnia została sklasyfikowana na miejscach 301-400. Według ogólnoświatowego rankingu szkół wyższych Webometrics Ranking of World Universities ze stycznia 2013, opracowanego przez hiszpański instytut Consejo Superior de Investigaciones Científicas uczelnia zajmuje 1. miejsce w Polsce wśród uniwersytetów, a na świecie 234. pośród wszystkich typów uczelni. Corocznie uniwersytet zajmuje 1-2 miejsce w rankingu polskich uczelni państwowych przeprowadzanych przez "Rzeczpospolitą" i "Perspektywy".
Wielka Encyklopedia Rosyjska (ros. Большая российская энциклопедия, БРЭ) – jedna z największych encyklopedii uniwersalnych w języku rosyjskim, wydana w 36 tomach w latach 2004–2017. Wydana przez spółkę wydawniczą o tej samej nazwie, pod auspicjami Rosyjskiej Akademii Nauk, na mocy dekretu prezydenckiego Władimira Putina nr 1156 z 2002 roku
Błądzenie losowe to pojęcie z zakresu matematyki i fizyki określające sformalizowane przedstawienie procesu, polegającego na podejmowaniu kolejnych kroków, każdy w losowo wybranym kierunku. Błądzenie losowe jest przykładem prostego procesu stochastycznego.
Norbert Wiener (ur. 26 listopada 1894 r. w Columbii - zm. 18 marca 1964 r. w Sztokholmie) — amerykański matematyk pochodzenia polsko-żydowskiego, twórca cybernetyki.
Własność Markowa w rachunku prawdopodobieństwa to własność procesów stochastycznych polegająca na tym, że warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu są zdeterminowane wyłącznie przez jego bieżący stan, bez względu na przeszłość. Ściślej: przyszłe stany procesu są warunkowo niezależne od stanów przeszłych.
W teorii prawdopodobieństwa mówimy, że zdarzenie zachodzi prawie na pewno (p.n.) jeśli zachodzi ono z prawdopodobieństwem 1. Sformułowanie to pojawia się w naturalny sposób np. przy badaniu zagadnień granicznych (zob. np. prawo wielkich liczb).

Reklama