Proces Bernoulliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Proces Bernoulliegoproces stochastyczny składający się z ciągu niezależnych zmiennych losowych X1, X2, X3, ... takich że

Próba Bernoulliego - eksperyment losowy z dwoma możliwymi wynikami, określanymi zazwyczaj jako sukces oraz porażka. Za przykłady prób Bernoulliego matematycy uważają:Prawdopodobieństwo – ogólne określenie jednego z wielu pojęć służących modelowaniu doświadczenia losowego poprzez przypisanie poszczególnym zdarzeniom losowym liczb, zwykle z przedziału jednostkowego (w zastosowaniach często wyrażanych procentowo), wskazujących szanse ich zajścia. W rozumieniu potocznym wyraz „prawdopodobieństwo” odnosi się do oczekiwania względem rezultatu zdarzenia, którego wynik nie jest znany (niezależnie od tego, czy jest ono w jakimś sensie zdeterminowane, miało miejsce w przeszłości, czy dopiero się wydarzy); w ogólności należy je rozumieć jako pewną miarę nieprzewidywalności.
  • dla każdego i wartość Xi to a lub b (jedna z dwóch wartości, niektórzy autorzy przyjmują, że a = 1, b = 0)
  • dla każdego i prawdopodobieństwo, że Xi = a jest stałe i równe p.
  • Jest to proces stacjonarny jak i ergodyczny.

    Pojedynczą zmienną losową Xi określa się mianem próby Bernoulliego. Proces Bernoulliego jest ściśle związany z następującymi rozkładami prawdopodobieństwa:

  • rozkład dwumianowy
  • ujemny rozkład dwumianowy
  • rozkład geometryczny (specjalny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego).
  • Uogólnienie[ | edytuj kod]

    Uogólnienie procesu Bernoulliego dopuszczające N możliwych wartości zmiennych losowych nazywane jest schematem Bernoulliego.

    Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.Rozkład dwumianowy (w Polsce zwany też rozkładem Bernoulliego, choć w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego) to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w ciągu N niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe p. Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.

    Wydarzenia[ | edytuj kod]

    W Annals of Mathemathics nr (3) 2014 ukazała się praca Witolda Bednorza i Rafała Latały "On the boundedness of Bernoulli processes", gdzie autorzy udowodnili tzw. hipotezę Bernoulliego, sformułowaną ok. 25 lat temu przez Michela Talagranda i mówiącą, że istnieją zasadniczo tylko dwa sposoby szacowania supremum procesu Bernoulliego. Jeden sposób polega na ograniczeniu jednostajnym i brutalnym dostawieniu modułów, drugi zaś na szacowaniu przez supremum dominującego procesu gaussowskiego. Za dowód hipotezy autorzy odebrali nagrodę w wys. 5000 USD, ufundowaną przez Talagranda, który na swojej stronie pisze "Their proof is simply stunningly beautiful".

    Proces ergodyczny (stacjonarny proces ergodyczny) - proces stacjonarny dla którego wartości parametrów statystycznych po zbiorze realizacji (czyli wartość średnia, wariancja i funkcja autokorelacji) są równe wartościom tych parametrów z jego dowolnej realizacji czasowej. Proces jest ergodycznym, gdy spełnia warunek:Schemat Bernoulliego – proces stochastyczny składający się z ciągu niezależnych zmiennych losowych X 1 {displaystyle X_{1}} , X 2 {displaystyle X_{2}} , X 3 {displaystyle X_{3}} ,..., takich że:

    Przypisy[ | edytuj kod]

    1. Paweł Strzelecki: Praca o dowodzie hipotezy Talagranda w Annals of Mathematics (pol.). Serwisy internetowy Uniwersytetu Warszawskiego.




    Warto wiedzieć że... beta

    Rozkład geometryczny jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie. k musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).

    Reklama