Problem Waringa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

W roku 1770 (XVIII w.) Edward Waring wysunął hipotezę, że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów (np. ). Ogólny zapis hipotezy:

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.John Edensor Littlewood (ur. 9 czerwca 1885, zm. 6 września 1977) – matematyk angielski, najbardziej znany ze swoich osiągnięć w analizie, teorii liczb i równaniach różniczkowych.

Dla każdej liczby całkowitej jest liczba że każda liczba całkowita dodatnia może być zapisana jako:

Joseph Louis Lagrange, wł. Giuseppe Lodovico (Luigi) Lagrangia (ur. 25 stycznia 1736 w Turynie, zm. 10 kwietnia 1813 w Paryżu) – matematyk i astronom pochodzenia włoskiego, pracujący we Francji i przez dwadzieścia lat w Berlinie dla króla pruskiego Fryderyka II.<|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>

z nieujemną liczbą całkowitą

Edward Waring (ur. ok. 1736 w Old Heath w pobliżu Shrewsbury w hrabstwie Shropshire, zm. 15 sierpnia 1798 w Pontesbury w Shropshire) — angielski matematyk.David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie), zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) – matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.

Hipoteza ta została udowodniona w tym samym roku przez J.L. Lagrange’a i obecnie nazywana jest problemem Waringa.

Problem ów został następnie uogólniony na wyższe potęgi (np. 1909 – David Hilbert, 1920 – Hardy i Littlewood). W roku 1909 David Hilbert wykazał, że dla każdej liczby naturalnej istnieje taka liczba że każdą liczbę naturalną można zapisać za pomocą co najwyżej -tych potęg liczb naturalnych. Niech dla każdego liczba oznacza najmniejsze takie Problem Waringa pyta właśnie o wartości funkcji .

Kilka pierwszych wartości funkcji to: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055...

Należy zauważyć, że liczba może mieć więcej niż jedną postać jako suma -tych potęg, np.

W roku 1939 Leonard Eugene Dickson wykazał, że 23 oraz 239 to jedyne liczby wymagające sumy dziewięciu sześcianów (oznacza to, że wszystkie pozostałe liczby wymagają co najwyżej ośmiu sześcianów).

Przypisy[ | edytuj kod]

  1. E. Waring, Meditationes algebraicae, Cambridge 1770.
  2. G.H. Hardy, J.E. Littlwood // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. s. 33–54. IV: Math. Z., 1922, № 12, s. 161–188.
  3. D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // „Mathematische Annalen”, 67, s. 281–300 (1909).
  4. ACTA ARITHMETICA [1].

Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Dennis Weeks (Hg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. (​ISBN 0-8218-0169-4​).
  • Leonard Eugene Dickson: All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes. In: „Bulletin of the American Mathematical Society” 45 (1939), s. 588–591.
  • Linki zewnętrzne[ | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Waring's Problem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).




  • Reklama