• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Prawa Keplera



    Podstrony: [1] [2] 3 [4]
    Przeczytaj także...
    Orbita – tor ciała (ciała niebieskiego lub sztucznego satelity) krążącego wokół innego ciała niebieskiego. W Układzie Słonecznym Ziemia, inne planety, planetoidy, komety i mniejsze ciała poruszają się po swoich orbitach wokół Słońca. Z kolei księżyce krążą po orbitach wokół planet macierzystych.Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).
    Znaczenie praw Keplera[ | edytuj kod]

    Odkrycie Keplera, że zarówno planety w Układzie Słonecznym, jak i księżyce w układzie Jowisza krążą wokół ciała centralnego po orbitach eliptycznych, było mocnym potwierdzeniem teorii heliocentrycznej Kopernika, dając zarazem niespotykaną dotąd zgodność obliczeń z obserwacjami. Było także definitywnym zerwaniem z pitagorejskim kanonem, zgodnie z którym prostota i elegancja opisu ruchu polegała na jego „rozłożeniu” na ruchy jednostajne po okręgu. Jeszcze w starożytności ideę tę podjął Platon, a twórczo i matematycznie opracował ją Eudoksos. I od niego we wszystkich późniejszych modelach kosmologicznych pojawiały się koncentryczne sfery „działające” i „neutralizujące”, ekscentryczne koła, deferenty, epicykle i ekwanty. Towarzyszyły one wszystkim astronomom od Hipparcha poprzez Ptolemeusza na Koperniku skończywszy. Odkrycie Keplera odrzuciło ten pitagorejsko-platoński kanon – elipsy okazały się równie pięknym i z pewnością prostszym pojęciem systemu kosmologicznego.

    Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.Merkury – najmniejsza i najbliższa Słońcu planeta Układu Słonecznego. Jako planeta wewnętrzna znajduje się dla ziemskiego obserwatora zawsze bardzo blisko Słońca, dlatego jest trudna do obserwacji. Mimo to należy do planet widocznych gołym okiem i była znana już w starożytności. Merkurego dojrzeć można jedynie tuż przed wschodem lub tuż po zachodzie Słońca.

    Te wydedukowane z danych empirycznych prawa były w gruncie rzeczy prawami czysto geometrycznymi. Pojawiające się wzmianki dotyczące masy, siły i bezwładności (szczególnie w pracach Galileusza) zupełnie nie znalazły odzwierciedlenia w prawach Keplera. Z punktu widzenia dzisiejszej fizyki jest to opis ruchu w języku kinematyki, brak w nich zupełnie pojęć dynamiki. On sam pisząc Astronomia nova, był przekonany, że tym co wywołuje orbitalny ruch planet, jest „duch planety”, choć i u niego ten pogląd ewoluował – z biegiem lat zauważywszy ścisłą zależność prędkości liniowej planety na orbicie od jej średnicy, doszedł do wniosku, że przyczyna ruchu ma jednak podłoże fizyczne. Nawet w takim poglądzie widać pokłosie błędnej arystotelesowskiej fizyki, choć u Keplera nowatorskie niewątpliwie było mówienie o „podłożu fizycznym” w ruchach ciał niebieskich.

    Saturn – gazowy olbrzym, szósta planeta Układu Słonecznego pod względem oddalenia od Słońca, druga po Jowiszu pod względem masy i wielkości. Charakterystyczną jego cechą są pierścienie, składające się głównie z lodu i w mniejszej ilości z odłamków skalnych; inne planety-olbrzymy także mają systemy pierścieni, ale żaden z nich nie jest tak rozległy ani tak jasny. Według danych z lipca 2013 roku znane są 62 naturalne satelity Saturna.Eudoksos z Knidos gr. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος Eudoksos ho Knidios (ur. ok. 408 p.n.e. w Knidos, zm. ok. 355 p.n.e. tamże) – grecki astronom, matematyk, filozof i geograf pochodzący z Karii (dzisiejsza Azja Mniejsza).

    Mimo to znaczenie praw Keplera dla dalszego rozwoju fizyki trudno przecenić – były one inspiracją i podstawą rozważań dla Newtona szukającego uniwersalnego prawa rządzącego ruchami ciał na powierzchni Ziemi, jak i w kosmosie. W roku 1687 Newton, korzystając z wprowadzonych przez siebie trzech zasad dynamiki, wyprowadził z trzech praw Keplera wzór na siłę przyciągającą dwa ciała, formułując tym samym nowe prawo powszechnego ciążenia. Walnie przyczyniły się więc do rozwoju mechaniki klasycznej.

    Jowisz – piąta w kolejności oddalenia od Słońca i największa planeta Układu Słonecznego. Jego masa jest nieco mniejsza niż jedna tysięczna masy Słońca, a zarazem dwa i pół raza większa niż łączna masa wszystkich innych planet w Układzie Słonecznym. Wraz z Saturnem, Uranem i Neptunem tworzy grupę gazowych olbrzymów, nazywaną czasem również planetami jowiszowymi.Klaudiusz Ptolemeusz, Ptolemeusz Klaudiusz lub po prostu Ptolemeusz (łac. Claudius Ptolemaeus, stgr. Κλαύδιος Πτολεμαῖος Klaudios Ptolemaios; ur. ok. 100, zm. ok. 168) – astronom, matematyk i geograf greckiego pochodzenia. Urodzony w Tebaidzie, kształcił się i działał w Aleksandrii należącej wówczas do Imperium rzymskiego około II wieku n.e.

    Dzisiaj, po czterech wiekach, zmieniło się podejście do praw Keplera. R. Penrose pisze: „Obecnie jednak nieco inaczej traktujemy ruchy Keplera i uważamy, że są one jedynie konsekwencją siedemnastowiecznych praw dynamiki grawitacyjnej, sformułowanych po raz pierwszy przez Newtona (…); nie traktujemy zatem praw Keplera jako fundamentalnych praw Przyrody”. Z praw uwiarygodniających wzór na ciążenie powszechne Newtona stały się jedynie jego piękną i sugestywną ilustracją. Tak też są one przedstawiane w wielu współczesnych źródłach (np. podręcznikach akademickich), gdzie wyprowadza się je z praw mechaniki klasycznej.

    Dwunastościan foremny (in. dodekaedr) to wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych. Posiada 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty.Biblioteka Narodowa Izraela (hebr. הספרייה הלאומית; dawniej: Żydowska Biblioteka Narodowa i Uniwersytecka, hebr. בית הספרים הלאומי והאוניברסיטאי) – izraelska biblioteka narodowa w Jerozolimie.

    Współczesne ujęcie[ | edytuj kod]

    Z praw mechaniki Newtona wynika, że trzy prawa Keplera poprawnie opisują ruch planety w układzie związanym ze Słońcem. Dokładniej: prawa Keplera mówią o układzie dwóch ciał obdarzonych masą, z których jedno ma masę zaniedbywalnie małą w porównaniu z masą drugiego. W przypadku dwóch ciał o porównywalnych masach układ odniesienia nie jest związany z żadnym z nich, tzn. żadne z nich nie jest ciałem centralnym. Prawa Keplera zupełnie zawodzą dla układu trzech i więcej ciał.

    Encyklopedia Britannica (ang. Encyclopædia Britannica) – najstarsza wydawana do chwili obecnej i najbardziej prestiżowa encyklopedia angielskojęzyczna. Artykuły w niej zamieszczane uważane są powszechnie przez czytelników za obiektywne i wiarygodne.Galileusz (wł. Galileo Galilei; ur. 15 lutego 1564 w Pizie, zm. 8 stycznia 1642 w Arcetri) – włoski astronom, astrolog, matematyk, fizyk i filozof, twórca podstaw nowożytnej fizyki.

    Podstawowymi pojęciami, w których współcześnie wyraża się te prawa, to m.in. masa, energia, siła, moment pędu.

    Pierwsze prawo Keplera[ | edytuj kod]

    Każde z dwóch ciał porusza się po krzywej stożkowej, w ognisku której znajduje się środek masy całego układu. Ze środkiem tym jest związany inercjalny układ odniesienia, co wynika z zasady zachowania pędu i właśnie w tym układzie krzywa ma kształt pewnej stożkowej.

    W szczególnie ważnym przypadku, gdy m<<M, jeden z parametrów stożkowej można wyznaczyć z zależności:

    Czworościan foremny (gr. tetraedr) – czworościan, którego ściany są identycznymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu. Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu to (1, 1, 1), (–1, –1, 1), (–1, 1, –1) i (1, –1, –1).Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.

    gdzie: – wielka półoś stożkowej (dla paraboli jest to dla hiperboli jest to połowa odległości między wierzchołkami obu gałęzi wzięta z minusem), – masy obu ciał, stała grawitacji, – całkowita energia orbitalna, tj. suma energii kinetycznej i potencjalnej ciała mniejszego w układzie związanym ze środkiem masy układu. Ponieważ jest ujemne, więc można wartość całkowitej energii wyrazić jako

    Z analizy powyższego równania wynika, że

    Stała grawitacji (oznaczenie: G lub γ) – stała fizyczna służąca do opisu pola grawitacyjnego. Jako pierwszy wyznaczył ją Henry Cavendish. Obecnie używana wartość została opublikowana w 2002 roku przez Komitet Danych dla Nauki i Techniki (CODATA) i wynosi:Dwudziestościan foremny (in. ikosaedr) - najbardziej złożony wielościan foremny o 20 ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych. Posiada 30 krawędzi i 12 wierzchołków oraz 15 płaszczyzn symetrii. Ścinając wierzchołki dwudziestościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwudziestościan ścięty. Symetria bryły jest opisana niekrystalografiaczną klasą m3(z kreską)5(z kreską).
  • jeśli czyli to ciało porusza się po elipsie o półosi równej
  • jeśli czyli to ciało porusza się po paraboli,
  • jeśli czyli to ciało porusza się po hiperboli o półosi równej
  • Oznacza to, że jeśli energia orbitalna jest nieujemna, tj. to mniejsze ciało porusza się na tyle szybko, że zbliży się do drugiego ciała tylko jednokrotnie.

    Mars – czwarta według oddalenia od Słońca planeta Układu Słonecznego. Nazwa planety pochodzi od imienia rzymskiego boga wojny – Marsa. Zawdzięcza ją swej barwie, która przy obserwacji z Ziemi wydaje się być rdzawo-czerwona i kojarzyła się starożytnym z pożogą wojenną. Postrzegany odcień wynika stąd, że powierzchnia planety zawiera tlenki żelaza. Mars jest planetą wewnętrzną z cienką atmosferą, o powierzchni usianej kraterami uderzeniowymi, podobnie jak powierzchnia Księżyca. Występują tu także inne rodzaje terenu, podobne do ziemskich: wulkany, doliny, pustynie i polarne czapy lodowe. Okres obrotu wokół własnej osi jest niewiele dłuższy niż Ziemi i wynosi 24,6229 godziny (24h37min22s). Na Marsie znajduje się najwyższa góra w Układzie Słonecznym – Olympus Mons i największy kanion – Valles Marineris. Gładki obszar równinny Vastitas Borealis na półkuli północnej obejmuje 40% powierzchni planety i może być pozostałością ogromnego uderzenia. W przeciwieństwie do Ziemi, Mars jest geologicznie i tektonicznie nieaktywny.Półoś wielka - jest to połowa większej osi elipsy. Elipsa ma dwie osie symetrii, a każda z nich składa się z dwóch półosi. Na dłuższej osi elipsy znajdują się dwa tak zwane ogniska. Analogiczne półoś mała definiowana jest jako połowa mniejszej osi elipsy.

    Drugie prawo Keplera[ | edytuj kod]

    Zgodnie z tym prawem prędkość polowa każdej planety jest stała. Wektorowo oznacza to, że dla dowolnej stożkowej:

    gdzie:

    Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.Planeta (późnołac. planeta, od gr. πλανήτ- planét-, πλανής planés, nowogr. πλανήτης planétes; dosł. „wędrowiec” od πλανάσθαι planásthai, wędrować) – zgodnie z definicją Międzynarodowej Unii Astronomicznej – obiekt astronomiczny okrążający gwiazdę lub pozostałości gwiezdne, w którego wnętrzu nie zachodzą reakcje termojądrowe, wystarczająco duży, aby uzyskać prawie kulisty kształt oraz osiągnąć dominację w przestrzeni wokół swojej orbity. W odróżnieniu od gwiazd, świecących światłem własnym, planety świecą światłem odbitym.
    – prędkość polowa rozumiana jako wektor prostopadły do płaszczyzny stożkowej, – wektor powierzchni o wartości pola zakreślanego w czasie przez promień wodzący o początku w ognisku stożkowej.

    Stosując wzór na pole trójkąta: dostaniemy gdzie jest kątem między promieniem wodzącym a wektorem przesunięcia na orbicie. Stąd:

    Reguła Titiusa-Bodego – hipoteza, według której średnie odległości planet od gwiazdy centralnej w Układzie Słonecznym spełniają dość dokładnie pewne proste arytmetyczne prawo.Elipsa – w geometrii ograniczony przypadek krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

    gdzie:

    Sześcian (właściwie sześcian foremny, inaczej heksaedr) – wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada dwanaście krawędzi, osiem wierzchołków i 4 przekątne. Ścinając odpowiednio wierzchołki sześcianu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie sześcian ścięty.Mikołaj Kopernik (łac. Nicolaus Copernicus, niem. Nikolaus Kopernikus; ur. 19 lutego 1473 w Toruniu, zm. 24 maja 1543 we Fromborku) – polski astronom, autor dzieła De revolutionibus orbium coelestium (O obrotach sfer niebieskich) przedstawiającego szczegółowo i w naukowo użytecznej formie heliocentryczną wizję Wszechświata. Wprawdzie koncepcja heliocentryzmu pojawiła się już w starożytnej Grecji (jej twórcą był Arystarch z Samos), to jednak dopiero dzieło Kopernika dokonało przełomu i wywołało jedną z najważniejszych rewolucji naukowych od czasów starożytnych, nazywaną przewrotem kopernikańskim.
    – nieskończenie mały wektor przesunięcia w ruchu po orbicie, – promień wodzący z ogniska, – prędkość liniowa na orbicie, – prędkość kątowa wokół ogniska orbity.

    Jednocześnie zachodzi

    Aphelium lub afelium (zlatynizowany wyraz pochodzenia greckiego, od gr. apo: od i helios: słońce) – punkt na orbicie ciała niebieskiego krążącego wokół Słońca, znajdujący się w miejscu największego oddalenia tego ciała od Słońca. Aphelium posiadają orbity okołosłoneczne ciał poruszających się po orbitach eliptycznych (nie kołowych), jak planety, planetoidy, czy komety.Biblioteka Narodowa Francji (fr. Bibliothèque nationale de France, BnF) – francuska biblioteka narodowa, znajdująca się w Paryżu. Przewidziana jest jako repozytorium dla wszystkich materiałów bibliotecznych, wydawanych we Francji. Obecnym dyrektorem Biblioteki jest Bruno Racine.

    gdzie:

    Store Norske leksikon (Wielka encyklopedia norweska) - norweska encyklopedia w języku bokmål. Powstała po fuzji dwóch dużych, tworzących encyklopedie i słowniki wydawnictw norweskich Aschehoug i Gyldendal w 1978 roku, które utworzyły wydawnictwo Kunnskapsforlaget. Były cztery wydania papierowe: pierwsza w latach 1978-1981 w 12 tomach, druga w latach 1986-1989 w 15 tomach, trzecia w latach 1995-1999 w 16 tomach i czwarta w latach 2005-2007 w 16 tomach. Ostatnie wydanie zawierało 150 tys. haseł i 16 tys. ilustracji i zostało opublikowana przy wsparciu finansowym stowarzyszenia Fritt Ord. W 2010 roku ogłoszono, że nie będzie już wydań papierowych encyklopedii. Encyklopedia dostępna jest on-line od 2000 roku, a od 2009 roku może być edytowane przez użytkowników. Kunnskapsforlaget korzysta jednak z pomocy ekspertów przy sprawdzaniu treści zamieszczonych przez czytelników.Ośmiościan foremny (inaczej oktaedr) to wielościan foremny o 8 ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Ma 12 krawędzi, 6 wierzchołków i 3 przekątne. Ścinając wierzchołki ośmiościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie ośmiościan ścięty. Ośmiościan foremny jest także antygraniastosłupem. Ośmiościan foremny ma cztery pary ścian do siebie równoległych.
    – moment pędu planety, – masa planety.

    Stąd:

    Powyższą kinetyczną zależność można zinterpretować jako przejaw działania zasady zachowania momentu pędu planety. Siła grawitacyjna bowiem, jako oddziaływanie centralne, w układzie podwójnym nie wywołuje momentów sił, zatem moment pędu układu zostaje zachowany.

    Prawo powszechnego ciążenia, zwane także prawem powszechnego ciążenia Newtona, głosi, że każdy obiekt we wszechświecie przyciąga każdy inny obiekt z siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami. Jest to ogólne prawo fizyczne, bazujące na empirycznych obserwacjach Newtona, które nazwał on indukcją (wpływem). Wchodzi ono w skład podstaw mechaniki klasycznej i zostało sformułowane w pracy sir Isaaca Newtona pt.: Philosophiae naturalis principia mathematica, opublikowanej po raz pierwszy 5 lipca 1687 r. W języku współczesnym prawo to brzmi następująco:Peryhelium, perihelium (zlatynizowany wyraz pochodzenia greckiego, od gr. peri, przy i helios, Słońce) – punkt na orbicie ciała niebieskiego obiegającego Słońce, znajdujący się w miejscu największego zbliżenia obu ciał. Przeciwieństwem peryhelium jest aphelium. W odniesieniu do orbity okołoziemskiej stosuje się odpowiednio perygeum i apogeum, zaś w ogólnym przypadku, np. orbit wokół gwiazd – perycentrum i apocentrum.

    Trzecie prawo Keplera[ | edytuj kod]

    Jeśli planeta porusza się w polu grawitacyjnym gwiazdy, ale jej masa jest na tyle duża, że nie można jej pominąć przy porównaniu z masą gwiazdy, natomiast pominie się oddziaływania z innymi ciałami, obowiązuje zależność zwana uogólnionym III prawem Keplera:

    gdzie:

    Układ Słoneczny – układ planetarny składający się ze Słońca i powiązanych z nim grawitacyjnie ciał niebieskich. Ciała te to osiem planet, ponad 160 znanych księżyców planet, pięć znanych (a prawdopodobnie kilkadziesiąt) planet karłowatych i miliardy (a być może nawet biliony) małych ciał Układu Słonecznego, do których zalicza się planetoidy, komety, meteoroidy i pył międzyplanetarny.Ziemia (łac. Terra) − trzecia, licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu Słonecznego.
    – odległość między środkami mas: planety i obieganej gwiazdy, stała grawitacji, – masa danej planety, – masa gwiazdy, – okres obrotu planety wokół gwiazdy.

    Z uogólnionego trzeciego prawa Keplera, pomijając masę planety, można wyprowadzić sformułowane przez Keplera prawo, gdy:

    Wielka Encyklopedia Rosyjska (ros. Большая российская энциклопедия, БРЭ) – jedna z największych encyklopedii uniwersalnych w języku rosyjskim, wydana w 36 tomach w latach 2004–2017. Wydana przez spółkę wydawniczą o tej samej nazwie, pod auspicjami Rosyjskiej Akademii Nauk, na mocy dekretu prezydenckiego Władimira Putina nr 1156 z 2002 roku Słońce (łac. Sol, Helius, gr. Ἥλιος Hḗlios) – gwiazda centralna Układu Słonecznego, wokół której krąży Ziemia, inne planety tego układu, planety karłowate oraz małe ciała Układu Słonecznego. Słońce to najjaśniejszy obiekt na niebie i główne źródło energii docierającej do Ziemi.


    Podstrony: [1] [2] 3 [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    SUDOC (fr. Système Universitaire de Documentation, pol. Uniwersytecki System Dokumentacji) – centralny katalog informacji bibliograficznej francuskiego szkolnictwa wyższego.
    Johannes Kepler (ur. 27 grudnia 1571 r. w Weil der Stadt, zm. 15 listopada 1630 r. w Ratyzbonie) – niemiecki matematyk, astronom i astrolog, jedna z czołowych postaci rewolucji naukowej w XVII wieku. Najbardziej znany jest z nazwanych jego nazwiskiem praw ruchu planet, skodyfikowanych przez późniejszych astronomów na podstawie jego prac Astronomia nova, Harmonices Mundi i Epitome astronomiae Copernicanae. Prawa te stały się jedną z podstaw teorii grawitacji Izaaka Newtona.
    Hipparchos z Nikei (Hipparch; gr. Ἵππαρχος, ok. 190 p.n.e. - 120 p.n.e.) – grecki matematyk, geograf i astronom.
    Krzywa stożkowa – zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (ściślej powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny. Krzywe stożkowe są nazywane inaczej krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x i y.
    Ekscentryczność (inaczej mimośród) – wielkość charakteryzująca kształt orbity, opisywanej równaniem parametrycznym krzywej stożkowej. Oznacza się ją symbolem e. Najczęściej używana przy opisie toru ruchu ciała obiegającego drugie ciało pod wpływem siły grawitacji. W ogólności tor ruchu jest taki sam w polu każdej siły centralnej proporcjonalnej do odwrotności kwadratu odległości od centrum (1/r; w szczególności siły elektrostatycznej).
    Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.
    Platon, gr. Πλάτων, Plátōn (ur. 427 p.n.e. prawdopodobnie w Atenach (według niektórych świadectw na wyspie Eginie), zm. 347 p.n.e. w Atenach) (inne źródła podają, że żył 428-348 p.n.e.) – grecki filozof. Był twórcą systemu filozoficznego zwanego obecnie idealizmem platońskim.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.106 sek.