Pierwiastkowanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Fragment wykresu funkcji

Pierwiastkowanie – operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ może istnieć wiele liczb, które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę (są to tzw. pierwiastki algebraiczne), to pierwiastkowanie nie może być w ogólności traktowane jako działanie. Jeśli jednak odpowiednio ograniczyć dziedzinę działania potęgowania, to potęgowanie staje się funkcją odwracalną (i ta funkcja odwrotna wyznacza tzw. „pierwiastki arytmetyczne”).

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.

Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych; pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z EleiOdległość Minkowskiego – w matematyce uogólniona miara odległości między punktami przestrzeni euklidesowej; niekiedy nazywa się także odległością Lm. Można o niej myśleć jako o uogólnieniu odległości euklidesowej (L2), miejskiej (L1, w teorii informacji znanej jako odległość Hamminga) oraz Czebyszewa (L∞, tzn. Lm w granicy przy m → ∞).

Pierwiastki pojawiają się np. w definicji średniej geometrycznej, w pierwiastkowym kryterium Cauchy’ego na zbieżność szeregu liczbowego albo w definicji odległości Minkowskiego.

Definicja[ | edytuj kod]

Niech dana będzie dodatnia liczba całkowita nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby stopnia nazywa się taką liczbę która podniesiona do n-tej potęgi jest równa innymi słowy jest to dowolna liczba spełniająca równość:

Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 w Sztokholmie) – francuski filozof, matematyk i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.

Innymi słowy, pierwiastek stopnia z liczby jest pierwiastkiem wielomianu zmiennej

Geometria (La Géometrie) – traktat francuskiego filozofa René Descartes’a, który był jedynym traktatem matematycznym wydanym za jego życia. Geometria jest uznawana za jedno z najważniejszych dzieł w historii całej matematyki. Litera – znak graficzny charakterystyczny dla pism fonetycznych. Może wyrażać pojedynczą głoskę, sylabę lub wchodzić w skład innych połączeń - np. dwuznaków. W języku francuskim zestaw nawet pięciu liter może oznaczać jedną głoskę.

Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.

Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.Fibonacci (Leonardo z Pizy; ur. około 1175 r. - zm. 1250 r.) - włoski matematyk. Znany jako: Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy).

Dla nieparzystych każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych

Pierwiastek stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym, zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Zasada dobrego uporządkowania – reguła matematyczna mówiąca, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy.Twierdzenie Abela-Ruffiniego – głosi, że pierwiastki równania algebraicznego stopnia wyższego niż 4 nie dają się wyrazić w ogólnej postaci za pomocą czterech działań algebraicznych i pierwiastkowania poprzez współczynniki równania w skończonej liczbie kroków (czyli poprzez tak zwane pierwiastniki).

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu (zob. wyżej), pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby odpowiadają kolejno symbole itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.

Alfabet arabski – alfabetyczne pismo używane do zapisu języka arabskiego. Powstało z nabatejskiej odmiany pisma aramejskiego. Pismo arabskie rozpowszechnione jest w krajach muzułmańskich.Gerard z Kremony (ur. 1114, zm. 1187) – tłumacz dzieł arabskich działający w szkole tłumaczy w Toledo. Urodzony w Cremonie przybył do Kastylii, gdzie idealne warunki do studiowania języka arabskiego znalazł w Toledo.

W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku ułamkowym, tzn.

Przykłady i własności[ | edytuj kod]

Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest -2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby, które wraz z 2 oraz -2 są pierwiastkami algebraicznymi 4. stopnia z 16.

Niemcy – naród zamieszkujący przede wszystkim Republikę Federalną Niemiec, posługujący się językiem niemieckim z grupy języków germańskich. Pod względem wyznaniowym Niemcy podzieleni są na katolików (płd. i zach. Niemcy) i protestantów (płn. i wsch. Niemcy).Arabowie (arab.: عرب ’Arab, w pierwotnym znaczeniu: „koczownicy”) – grupa ludów pochodzenia semickiego zamieszkująca od czasów starożytnych Półwysep Arabski. Większość Arabów to ludzie biali, choć w Afryce spotkać też można Arabów o negroidalnym wyglądzie.

Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być lecz nie istnieje żaden rzeczywisty pierwiastek szóstego stopnia z jakiejkolwiek liczby ujemnej.

Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 w Sztokholmie) – francuski filozof, matematyk i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.

Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną; przykładem liczby naturalnej, której pierwiastek jest niewymierny jest 2:

Pierwiastek wyższego stopnia z liczby większej niż 1 jest zawsze liczby mniejszą od pierwiastka kwadratowego np.

Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną. Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych, są algebraiczne.

Dowód nie wprost (dowód apagogiczny, dowód sokratejski, łac. reductio ad absurdum - sprowadzenie do sprzeczności), to forma dowodu logicznego, w którym z założenia o nieprawdziwości tezy wyprowadza się sprzeczność ze zdaniem prawdziwym (założenie nieprawdziwości twierdzenia prowadzi do sprzeczności), co pozwala przyjąć że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, a sama teza prawdziwa. Inaczej sposób dowodzenia twierdzeń przez wykazanie sprzeczności między zaprzeczeniem dowodzonej tezy a przyjętymi założeniami.Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.

Jeżeli są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

  • dla
  • Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu:

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Pierwiastnik względem ustalonych liczb to w algebrze wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych, potęg o wykładnikach naturalnych (skrócony zapis wielokrotnego mnożenia) oraz pierwiastków stopni naturalnych.

    o ile Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumianowego.

    Wielka Encyklopedia Rosyjska (ros. Большая российская энциклопедия, БРЭ) – jedna z największych encyklopedii uniwersalnych w języku rosyjskim, wydana w 36 tomach w latach 2004–2017. Wydana przez spółkę wydawniczą o tej samej nazwie, pod auspicjami Rosyjskiej Akademii Nauk, na mocy dekretu prezydenckiego Władimira Putina nr 1156 z 2002 roku Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Warto wiedzieć że... beta

    Wyrażenie algebraiczne – syntaktycznie wyrażenie matematyczne, złożone z jednego lub większej liczby symboli algebraicznych (tzn. stałych lub zmiennych), połączonych znakami działań (+, -, ·, /, potęgi i pierwiastka) i ewentualnie nawiasów, zgodnie z regułami notacji matematycznej.
    Znak liczby – właściwość liczby rzeczywistej określająca jej relację względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:
    Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną różną od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia nazywa się dowolną liczbę zespoloną z spełniającą równość:
    Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي) – perski matematyk, astronom, geograf i kartograf pochodzenia chorezmijskiego żyjący w IX wieku (prawdopodobnie ok. 780 - ok. 850).
    Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.
    Teoria Galois – nosząca nazwisko Évariste’a Galois teoria matematyczna, a dokładniej teoria algebry abstrakcyjnej, wskazująca związki między teorią ciał a teorią grup. Umożliwia ona redukcję pewnych problemów teorii ciał do zagadnień w pewnym sensie prostszej i lepiej poznanej teorii grup.
    Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.

    Reklama