Paczka falowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Paczka falowa nieulegająca dyspersji.
Paczka falowa ulegająca dyspersji. Grzbiety fali poruszają się szybciej niż paczka falowa, co odpowiada temu że prędkość fazowa jest większa od prędkości grupowej.

Paczka falowa (pakiet falowy) – fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach.

Fala – zaburzenie rozprzestrzeniające się w ośrodku lub przestrzeni. W przypadku fal mechanicznych cząstki ośrodka, w którym rozchodzi się fala, oscylują wokół położenia równowagi, przy czym przenoszą energię z jednego miejsca do drugiego bez transportu jakiejkolwiek materii.Pulsacja (częstość kołowa, częstość kątowa) - wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe. Pulsacja jest powiązana z częstotliwością (f) i okresem (T) poprzez następującą zależność:

W przeciwieństwie do nieskończonych (niezlokalizowanych) obiektów paczka falowa jest obiektem zlokalizowanym. Obiekt taki przemieszcza się w przestrzeni i przenosi informacje, a prędkość, z jaką to się odbywa, zwana jest prędkością grupową.

Podejście matematyczne[ | edytuj kod]

Przykładem propagacji (rozchodzenia się) fali bez dyspersji jest fala płaska będąca rozwiązaniem równania falowego postaci:

gdzie:

Fala płaska - jest to fala, której powierzchnie falowe (powierzchnie o jednakowej fazie) tworzą równoległe do siebie linie proste, gdy fala rozchodzi się po powierzchni, i płaszczyzny, gdy rozchodzi się w przestrzeni trójwymiarowej.Liczba falowa (kątowa liczba falowa) – w fizyce parametr opisujący fale harmoniczne, określający oscylację fali w przestrzeni, zdefiniowany wzorem:
– prędkość propagacji fali w danym ośrodku, – zmienna charakteryzująca chwilową amplitudę fali w punkcie w chwili

Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest funkcja propagacji fali płaskiej:

Prędkość grupowa – wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych (innych niż sinusoidalne) w sytuacji, gdy natężenie fali nie wpływa na prędkość ruchu fali.Propagacja w fizyce jest to rozprzestrzenianie się zaburzenia w ośrodku. Jeżeli źródło zaburzenia wywołuje zmiany w sposób cykliczny, to mówi się o propagacji fali.

gdzie: jednostka urojona, wektor falowy, pulsacja (częstość kołowa),

Kwadrat długości wektora falowego w przypadku przestrzeni 3-wymiarowej jest sumą kwadratów liczb falowych względem poszczególnych osi:

Natomiast kwadrat pulsacji może być zapisany jako:

Powyższa relacja pomiędzy a jest prawdziwa, jeśli dana fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego. Równanie to opisuje dyspersję fali w ośrodku materialnym.

Można uprościć to rozwiązanie, wybierając układ współrzędnych w taki sposób, aby fala płaska rozchodziła się w kierunku Rozwiązanie równania falowego przyjmuje wtedy postać:

w którym:

Pierwszy człon powyższego równania reprezentuje propagację fali w kierunku dodatnich jako że jest funkcją Drugi człon, będący funkcją reprezentuje propagację fali w kierunku ujemnych wartości

Jeśli paczka falowa jest silnie zlokalizowana, oznacza to, że ma więcej składowych koniecznych do konstruktywnej interferencji w obszarze paczki, i destruktywnej interferencji w obszarze gdzie następuje wygaszenie.

Przechodząc z dziedziny czasu do dziedziny pulsacji dokonuje się unitarnej transformacji Fouriera i otrzymuje się uogólnioną postać paczki falowej, poprawną z punktu widzenia podstawowego rozwiązania w 1-wymiarowej przestrzeni:

W przypadku gdy:

paczka porusza się w kierunku dodatnim, oraz w kierunku ujemnym gdy:

Czynnik stojący przed całką pojawia się tutaj przez wykonanie transformacji Fouriera. Amplituda w tym wzorze jest przez zależność dyspersyjną funkcją Zawiera ona współczynniki liniowych superpozycji fal płaskich. Współczynniki te mogą zostać wyrażone jako funkcja ewaluowana w granicy przy z relacji wynikającą z odwrotnej transformacji Fouriera:

Bibliografia[ | edytuj kod]

  • http://www.if.pw.edu.pl/~pluta/pl/dyd/plg/w-fiz/w22/segment3/main.htm
  • https://web.archive.org/web/20090404160014/http://physics.usask.ca/~hirose/ep225/animation/dispersion/anim-dispersion.html (ang.)




  • Reklama