Odejmowanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Odejmowanie – jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

Ułamek dziesiętny – zapis liczby rzeczywistej w postaci ułamka, którego mianownik jest potęgą o wykładniku naturalnym liczby 10.Ciąg Cauchy’ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.

Odejmowanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem minusa. Znak ten zbliżony jest do półpauzy, krótszy od pauzy (oba służą oznaczaniu myślnika), a dłuższy od dywizu (łącznika).

Odejmowanie liczb[ | edytuj kod]

Najczęściej używane jest odejmowanie liczb, np. co czyta się: „trzy minus dwa równa się jeden” albo „trzy odjąć dwa równa się jeden”.

Różnica wektorów – jeżeli przyjmiemy wektory za uporządkowane pary punktów to dla przestrzeni 2-wymiarowej różnicę wektora a → = [ a x , a y ] {displaystyle {vec {a}}=[a_{x},a_{y}]} i b → = [ b x , b y ] {displaystyle {vec {b}}=[b_{x},b_{y}]} Kongruencja a. przystawanie – relacja równoważności określona w danym systemie algebraicznym. Jedną z najbardziej znanych kongruencji jest przystawanie liczb całkowitych.

Odejmowanie pisemne liczb naturalnych[ | edytuj kod]

Poniżej podany jest przykład obliczania różnicy dwóch trzycyfrowych liczb: i Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:

Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Cyfrą jedności jest cyfrą jedności jest Obliczamy więc na pozycji jedności pod kreską piszemy

Arytmetyka (łac. arithmetica, gr. αριθμητική arithmētikē, od αριθμητικός arithmētikos – arytmetyczna, od αριθμειν arithmein – liczyć, od αριθμός arithmós – liczba; spokr. ze staroang. rīm – liczba, i być z gr. αραρισκειν arariskein – pasować) – jedna z najstarszych część matematyki. W powszechnym użyciu słowo to odnosi się do zasad opisujących podstawowe działania na liczbach (arytmetyka elementarna).Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).

Cyfrą dziesiątek jest cyfrą dziesiątek jest Ponieważ i wynik wyszedłby ujemny „pożyczamy” z następnej pozycji. Oznacza to, że teraz dodajemy a przy następnej cyfrze odejmiemy Mamy zatem piszemy pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a pożyczamy z kolumny setek, co można sobie zanotować na boku:

Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

Działania arytmetyczne – zwyczajowa nazwa czterech spośród działań algebraicznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.Nationalencyklopedin – największa, szwedzka encyklopedia współczesna. Jej stworzenie było możliwe dzięki kredytowi w wysokości 17 mln koron, którego udzielił rząd szwedzki w 1980 roku i który został spłacony w 1990. Drukowana wersja składa się z 20 tomów i zawiera 172 tys. haseł. Wersja internetowa zawiera 260 tys. haseł (stan z czerwca 2005). Inicjatorem projektu był rząd szwedzki, który rozpoczął negocjacje z różnymi wydawcami. Negocjacje zakończyły się w 1985, kiedy na wydawcę został wybrany Bra Böcker z Höganäs. Encyklopedia miała uwzględniać kwestie genderowe i związane z ochroną środowiska. Pierwszy tom ukazał się w 1989 roku, ostatni w 1996. Dodatkowo w roku 2000 ukazały się trzy dodatkowe tomy. Encyklopedię zamówiło 54 tys. osób. W 1997 roku ukazało się wydanie elektroniczne na CD, a w 2000 pojawiło się wydanie internetowe, które jest uzupełniane na bieżąco.

Pozostała kolumna setek: odejmujemy (ten 1 to „pożyczka”) z trzeciej kolumny, otrzymując piszemy w kolumnie setek pod kreską:

Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.

otrzymując wynik

W ten sposób odejmuje się zawsze mniejszą liczbę od większej. Jeśli chcemy odjąć większą od mniejszej, zamieniamy je, odejmujemy, a na koniec przed wynikiem stawiamy znak minusa (gdyż wynik będzie wtedy liczbą ujemną). Na przykład chcąc obliczyć obliczamy a następnie dostawiamy minus otrzymując

Skalar – w algebrze (liniowej) element ustalonego ciała nad którym zbudowany jest dowolny moduł (przestrzeń liniowa).Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).

Ten sam algorytm może służyć do odejmowania liczb w dowolnym systemie pozycyjnym.

Odejmowanie liczb całkowitych[ | edytuj kod]

Możliwe są cztery przypadki, różniące się znakiem odejmowanych liczb:

  • Jeśli obydwie są nieujemne, odejmujemy je tak jak liczby naturalne powyżej. Znak różnicy zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.
  • Jeśli obydwie są ujemne (oznaczmy je i ), to wynikiem jest różnica ich wartości bezwzględnych i zapisanych w odwrotnej kolejności: Tu również znak zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.
  • Jeśli pierwsza liczba jest nieujemna a druga ujemna to odejmowanie sprowadza się do dodawania ich wartości bezwzględnych:
  • Jeśli pierwsza liczba jest ujemna a druga nieujemna to odejmowanie sprowadza się do dodania ich wartości bezwzględnych i zmiany znaku wyniku:
  • Zamiast tych reguł wystarczy pamiętać jedną: odjąć liczbę – to znaczy dodać przeciwną do niej liczbę

    Półgrupa – Grupoid ⟨ A , ⊙ ⟩ {displaystyle langle A,odot angle } , którego działanie ⊙ {displaystyle odot } jest łączne, czyli:Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

    Odejmowanie ułamków[ | edytuj kod]

    Dla liczb wymiernych i odejmowanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

    Biblioteka Narodowa Francji (fr. Bibliothèque nationale de France, BnF) – francuska biblioteka narodowa, znajdująca się w Paryżu. Przewidziana jest jako repozytorium dla wszystkich materiałów bibliotecznych, wydawanych we Francji. Obecnym dyrektorem Biblioteki jest Bruno Racine.Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

    Wówczas można zastosować wzór:

    Najmniejszym wspólnym mianownikiem, jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników odjemnej i odjemnika.

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Wielka Encyklopedia Rosyjska (ros. Большая российская энциклопедия, БРЭ) – jedna z największych encyklopedii uniwersalnych w języku rosyjskim, wydana w 36 tomach w latach 2004–2017. Wydana przez spółkę wydawniczą o tej samej nazwie, pod auspicjami Rosyjskiej Akademii Nauk, na mocy dekretu prezydenckiego Władimira Putina nr 1156 z 2002 roku

    Przykład:

    Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika najłatwiej wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Odejmowanie sprowadza się wtedy do wzoru:

    Znak liczby – właściwość liczby rzeczywistej określająca jej relację względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

    Przykład:

    Dywiz, czyli łącznik – znak pisarski oznaczony znakiem "-" w postaci krótkiej poziomej kreski (krótszej od pauzy i półpauzy) uniesionej ponad podstawową linią pisma. Ma szerokie i bardzo różnorodne zastosowanie.Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.

    W przypadku odejmowania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć obydwie liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:

    Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

    Translacja, przesunięcie – przekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez deformacji i obracania.Gemeinsame Normdatei (GND) – kartoteka wzorcowa, stanowiąca element centralnego katalogu Niemieckiej Biblioteki Narodowej (DNB), utrzymywanego wspólnie przez niemieckie i austriackie sieci biblioteczne.

    Definicja formalna[ | edytuj kod]

    Formalnie odejmowanie definiowane jest jako działanie odwrotne do dodawania:

    Działanie odejmowania można także zdefiniować osobno dla każdego rodzaju liczb:

  • odejmowanie dwóch liczb całkowitych i (gdzie ) określone jest wzorem
  • odejmowanie dwóch liczb wymiernych określone jest wzorem
  • (w ogólności wzór ten jest definicją odejmowania w dowolnym ciele ułamków);
  • odejmowanie dwóch liczb rzeczywistych jest określone następująco: jeżeli jest ciągiem Cauchy’ego zbieżnym do a jest zbieżnym do to ciąg jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do
  • odejmowanie dwóch liczb zespolonych określone jest wzorem
  • odejmowanie dwóch kwaternionów określone jest wzorem
  • Własności różnicy wynikające z własności odjemnej i odjemnika[ | edytuj kod]

    Kolejność wykonywania działań[ | edytuj kod]

    Odejmowanie wykonujemy od lewej do prawej:

    Punkt –  w najogólniejszym ujęciu – to element pewnego zbioru. Np. w zbiorze liczb punktem będzie liczba, w zbiorze samochodów - punktem będzie jakiś samochód. Punkt – rozważany w geometrii – to bezwymiarowy obiekt geometryczny; pojęcie punktu stanowi jedno z podstawowych pojęć geometrii; punkt ma zerowe rozmiary, dwa punkty mogą więc różnić się tylko położeniem. Punkty zaznacza się na rysunku jako × (krzyżyk), kółko lub kropkę i tradycyjnie oznacza wielkimi literami alfabetu łacińskiego (A, B, C).Suma macierzy jest wykonalna dla macierzy o tych samych wymiarach. Aby dodać dwie macierze, dodajemy do siebie elementy o tych samych współrzędnych:

    Kolejność wykonywania odejmowania ma znaczenie (odejmowanie nie jest łączne):

    Geometria (gr. γεωμετρία; geo – ziemia, metria – miara) – dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

    ale

    Odejmowanie nie jest również przemienne, zamiana argumentów zmienia znak różnicy:

    ale

    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Reklama