Obrazy w mechanice kwantowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Obrazy w mechanice kwantowej. Rozwiązując równanie Schrödingera niezależne od czasu, otrzymuje się wektor stanu przedstawiający stan układu kwantowego w pewnej chwili początkowej Pełny wektor stanu otrzymuje się, rozwiązując równanie Schrödingera zależne od czasu. Jeżeli hamiltonian układu nie zależy od czasu, to istnieje prosta zależność

W mechanice kwantowej wektor stanu to obiekt matematyczny opisujący stan kwantowy danego układu. Jest to wektor z przestrzeni Hilberta, której wymiar zależy od tego, od parametrów fizycznych układu (np. liczby cząstek w układzie).Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

Gdy jednak hamiltonian zależy od czasu, to rozwiązanie równania Schrödingera staje się trudniejsze.

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (ur. 12 sierpnia 1887 w Wiedniu (Erdberg), zm. 4 stycznia 1961 w Wiedniu) – austriacki fizyk teoretyk, jeden z twórców mechaniki kwantowej, laureat Nagrody Nobla z dziedziny fizyki w roku 1933 za prace nad matematycznym sformułowaniem mechaniki falowej.Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie dane wzorem

Aby rozwiązać zagadnienie opisu układu mechanicznego nie jest jednak konieczne rozwiązywanie równania Schrödingera z pełnym operatorem Hamiltona. Niekiedy problem można uprościć, przyjmując inny tzw. obraz,, czyli założyć, że w równaniu Schrödingera na wektory stanu działa niekoniecznie cały operator Hamiltona – wtedy pozostała jego część działa na obserwable, w tym na operator całkowitej energii układy, czyli pełny Hamiltonian. Wyróżnia się obrazy:

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – w klasycznej mechanice teoretycznej funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.Paul Adrien Maurice Dirac (ur. 8 sierpnia 1902 w Bristolu, zm. 20 października 1984 w Tallahassee) – angielski fizyk teoretyk.

(1) obraz Schrödingera – zakłada pełny operator Hamiltona w równaniu ewolucji stanów kwantowych; jeżeli operator Hamiltona nie zależy od czasu, to jedynie wektory stanu zmieniają się w czasie, zaś obserwable są stałe w czasie,

(2) obraz Heisenberga – jedynie operatory zmieniają się w czasie,

(3) obraz Diraca (obraz oddziaływania) – zarówno wektory stanu, jak i operatory zmieniają się w czasie.

Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Opisuje ono ewolucję układu kwantowego w czasie. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.Układ kwantowy - fizycznie istniejący bądź rozpatrywany teoretycznie układ fizyczny, którego właściwości nie da się przedstawić bez odnoszenia się do fizyki kwantowej.

Możliwość przyjęcia różnych obrazów wynika stąd, że wielkościami mierzonymi w eksperymentach nie są ani operatory ani wektory stanu, a jedynie wielkości, które wynikają z połączenia tych dwóch elementów równań kwantowomechanicznych – wartości średnie i prawdopodobieństwa. Stąd wynika możliwość przyjęcia różnych obrazów.

Werner Karl Heisenberg (ur. 5 grudnia 1901 w Würzburgu, zm. 1 lutego 1976 w Monachium) – niemiecki fizyk teoretyk i filozof nauki.

Zależność obserwabli od czasu[ | edytuj kod]

(1) Pochodna zupełna po czasie z elementu macierzowego operatora, tj. wielkości wyraża się wzorem:

Powyższe równanie dopuszcza pewną dowolność w wyrażeniu na zależność czasową wektorów stanu i obserwabli: jedynie ich suma musi spełniać powyższe równania. Aby znaleźć zależność od czasu tych dwóch elementów, należy więc nałożyć dodatkowy warunek na to równanie. W mechanice kwantowej warunek ten postuluje się jako:

Powyższe równanie ma charakter postulatu – nie wynika ono z żadnej teorii w mechanice kwantowej.

(2) Przyjmijmy, że pochodne stanów i opisywane są przez następujące równania:

gdzie jest pewnym ustalonym operatorem hermitowskim. Stąd pochodne wektorów dualnych wyrażają się wzorami:

(3) Wstawiając otrzymane pochodne do pierwszego wzoru, otrzyma się:

Porównując powyższy wzór z postulowaną postacią pochodnej elementu macierzowego, otrzymuje się:

Ponieważ wszystkie elementy macierzowe powyższego operatora zerują się, więc całkowity operator zeruje się. Stąd mamy:

Równanie powyższe opisuje zależność obserwabli od czasu. Ustalając konkretną postać operatora otrzymuje się różne obrazy mechaniki kwantowej.

Podstrony: 1 [2] [3]




Reklama