Multifunkcja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rysunek przedstawia odwzorowanie wielowartościowe – elementowi 3 przyporządkowane są dwa elementy przeciwdziedziny.

Multifunkcja lub funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony, pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.

Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Dziedzina relacji (dwuczłonowej) – zbiór wszystkich poprzedników par należących do danej relacji. W szczególności dziedziną funkcji nazywa się zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów danej funkcji, lub – dla funkcji wieloargumentowej – zbiór par, trójek lub ogólnie krotek jej argumentów.

Definicja[ | edytuj kod]

Niech i będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją między zbiorami i nazywa się przyporządkowanie każdemu niepustego zbioru Jeśli jest multifunkcją między i to oznacza się to czasami symbolem

Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję jako funkcję pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.

  • Obrazem zbioru poprzez multifunkcję nazywa się zbiór
  • Wykresem multifunkcji nazywamy zbiór
  • Multifunkcją odwrotną do multifunkcji nazywamy multifunkcję taką, że
  • Jeśli jest niepustym zbiorem oraz i są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję daną wzorem
  • Ponadto dla multifunkcji definiuje się (dla ):

  • m-produkt[ | edytuj kod]

    Pojęcie m-produktu rodziny zbiorów niepustych niejako „naśladuje” pojęcie produktu rodziny zbiorów.

    Niech będzie rodziną zbiorów niepustych. m-produktem tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji

    Jeśli dla każdego to m-produkt oznaczamy symbolem Jeśli to multifunkcję daną wzorem

    nazywamy rzutowaniem na

    Topologia w m-produkcie[ | edytuj kod]

    Jeśli przestrzeniami topologicznymi, to w m-produkcie można wprowadzić topologię poprzez analogię do topologii Tichonowa w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie podbazy postaci

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Geoffrey Fox, Pedro Morales, Non-Hausdorff multifunction generalization of the Kelley-Morse Ascoli theorem, Pacific J. Math. vol. 64, nr 1 (1976), s. 137–143.




  • Reklama