• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Miara Jordana



    Podstrony: [1] 2 [3]
    Przeczytaj także...
    Zbiory rozłączne – dwa zbiory, których część wspólna jest zbiorem pustym. Inaczej mówiąc, zbiory nie mające wspólnego elementu.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.
    Rozszerzenie na inne zbiory[ | edytuj kod]
    Zbiór (reprezentowany na rysunku przez obszar wewnątrz niebieskiej krzywej) jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy, jeśli może być dobrze przybliżony tak od wewnątrz, jak i od zewnątrz przez sumy prostokątów (1) (ich brzegi oznaczone są odpowiednio ciemną zielenią i ciemnym różem).

    Należy zauważyć, że zbiór niebędący iloczynem domkniętych przedziałów,

    Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.Miara skończenie addytywna jest przykładem funkcji addytywnej zbioru. Wbrew nazwie, nie jest to miara w ścisłym sensie.

    nie jest mierzalny za pomocą podanego wcześniej algorytmu. Krokiem kluczowym jest zdefiniowanie zbioru ograniczonego jako mierzalnego w sensie Jordana, jeżeli może być „dobrze przybliżony” przez sumy (1), dokładnie tak jak funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, jeśli może być dobrze przybliżona przez funkcje kawałkami stałe.

    Francuzi – naród romański zamieszkujący głównie Francję (ok. 64 mln), Wielką Brytanię (ok. 100 tys.), Katalonię (ok. 4 tys.) oraz nieliczni w Belgii, Andorze, Luksemburgu, Monako i Szwajcarii. Poza tym Francuzi żyją głównie w swoich byłych koloniach w Afryce oraz w własnych terytoriach zamorskich w Oceanii i na innych kontynentach. Około 10 milionów osób francuskiego pochodzenia mieszka w Stanach Zjednoczonych, a 5 milionów w Kanadzie. Ich ojczystym językiem jest francuski. Większość Francuzów to katolicy (chrystianizacja w II – IV wieku). Dzisiaj wielu potomków byłych imigrantów uważa się za część narodu francuskiego, są to przeważnie osoby pochodzenia afrykańskiego i arabskiego. Pozostają oni obywatelami państwa francuskiego.Figura geometryczna – w geometrii inna nazwa podzbioru danej przestrzeni, zwykle przestrzeni euklidesowej, afinicznej lub rzutowej.

    Formalnie dla zbioru określa się jego wewnętrzną miarę Jordana jako

    a jego zewnętrzną miarę Jordana jako

    Miara zewnętrzna – monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował grecki matematyk Constantin Carathéodory; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory’ego.MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

    gdzie kres dolny i górny brane są po sumach prostokątów Mówi się, że zbiór jest mierzalny w sensie Jordana, jeśli miara wewnętrzna jest równa mierze zewnętrznej. Wspólna wartość tych dwóch miar nazywana jest wtedy po prostu miarą Jordana zbioru

    Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

    Okazuje się, że wszystkie prostokąty (z brzegiem lub bez), jak również wszystkie kule, sympleksy itd. są mierzalne w sensie Jordana. Również dla dwóch funkcji ciągłych zbiór punktów między wykresami tych funkcji jest mierzalny w sensie Jordana o ile zbiór jest ograniczony i wspólna dziedzina tych funkcji jest mierzalna w sensie Jordana. Dowolna skończona suma lub iloczyn, jak również różnica dwóch zbiorów mierzalnych w sensie Jordana są mierzalne (jest to miara skończenie addytywna). Można udowodnić, że zbiór ograniczony jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy, jeśli jego brzeg jest mierzalny w sensie Jordana i jest miary zero Jordana.

    Objętość – miara przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny, jednostka zbyt duża do wykorzystania w życiu codziennym. Z tego względu najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm = 0,001 m³).Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) – miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

    Miara Lebesgue’a[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: miara Lebesgue’a.

    Ostatnia wspomniana własność znacząco ogranicza typy zbiorów mierzalne w sensie Jordana. Przykładowo zbiór liczb wymiernych zawartych w przedziale nie jest wtedy mierzalny w sensie Jordana, ponieważ jego brzegiem jest który nie jest miary zero Jordana. Jednakże intuicyjnie zbiór liczb wymiernych jest „mały”, ponieważ jest przeliczalny i powinien mieć zerowy „rozmiar”. Jest to istotnie prawdą, ale tylko wtedy, jeśli miara Jordana zostanie zastąpiona miarą Lebesgue’a. Miara Lebesgue’a zbioru pokrywa się z jego miarą Jordana o ile zbiór ma miarę Jordana. Jednak miara Lebesgue’a zdefiniowana jest dla o wiele szerszej klasy zbiorów, jak np. zbioru liczb wymiernych wspomnianego wcześniej, a także dla zbiorów, które mogą być nieograniczone lub fraktali. Miara Lebesgue’a, w przeciwieństwie do miary Jordana, również jest prawdziwą miarą, tzn. każda przeliczalna suma zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, co nie jest prawdą, jeżeli słowo „Lebesgue’a” zastąpi się przez „Jordana”.

    Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.


    Podstrony: [1] 2 [3]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.
    Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:
    Miara Lebesgue’a (czyt. „lebega”) – pojęcie teorii miary formalizujące i uogólniające intuicje związane z takimi pojęciami (w zależności od wymiaru) jak długość, pole powierzchni czy objętość bryły. Historycznie pojęcie miary (nazywanej dziś miarą Lebesgue’a) pochodzi z pracy Henriego Lebesgue’a, dotyczącej rozszerzenia pojęcia całki na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż przedziały domknięte (tzw. całka Lebesgue’a).
    Marie Ennemond Camille Jordan (ur. 5 stycznia 1838 w Lyonie, zm. 22 stycznia 1922 w Paryżu) – matematyk francuski znany szerzej pod swoim trzecim imieniem jako Camille Jordan.
    Sympleks – w matematyce zbiór wypukły, będący uogólnieniem trójkąta i czworościanu na dowolną przestrzeń liniową.
    Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować". Istnieją dwie nierównoważne konwencje użycia terminu zbiór przeliczalny w matematyce:
    Miara wewnętrzna – funkcja przypisująca wszystkim podzbiorom danego zbioru "rozmiar", będąca pewnym uogólnieniem wewnętrznej miary Jordana.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.02 sek.