Miara Jordana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara Jordana – formalizacja pojęcia rozmiaru, czyli np. długości, pola danej figury, objętości bryły. Nosi ona nazwisko francuskiego matematyka Camille’a Jordana, który wprowadził ją pod koniec dziewiętnastego wieku. Obecnie częściej stosuje się miarę Lebesgue’a będącą uogólnieniem miary Jordana na szerszą klasę zbiorów.

Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.Miara skończenie addytywna jest przykładem funkcji addytywnej zbioru. Wbrew nazwie, nie jest to miara w ścisłym sensie.

Miara Jordana dla sum prostokątów[ | edytuj kod]

Suma (być może nakładających się) prostokątów
Rozkład powyższego zbioru na rozłączne prostokąty

Niech będzie przestrzenią kartezjańską. Niech oznacza iloczyn ograniczonych przedziałów

Francuzi – naród romański zamieszkujący głównie Francję (ok. 64 mln), Wielką Brytanię (ok. 100 tys.), Katalonię (ok. 4 tys.) oraz nieliczni w Belgii, Andorze, Luksemburgu, Monako i Szwajcarii. Poza tym Francuzi żyją głównie w swoich byłych koloniach w Afryce oraz w własnych terytoriach zamorskich w Oceanii i na innych kontynentach. Około 10 milionów osób francuskiego pochodzenia mieszka w Stanach Zjednoczonych, a 5 milionów w Kanadzie. Ich ojczystym językiem jest francuski. Większość Francuzów to katolicy (chrystianizacja w II – IV wieku). Dzisiaj wielu potomków byłych imigrantów uważa się za część narodu francuskiego, są to przeważnie osoby pochodzenia afrykańskiego i arabskiego. Pozostają oni obywatelami państwa francuskiego.Figura geometryczna – w geometrii inna nazwa podzbioru danej przestrzeni, zwykle przestrzeni euklidesowej, afinicznej lub rzutowej.

które są domknięte z lewej i otwarte z prawej (przedziały półotwarte są wyborem technicznym; równie dobrze można użyć zbiorów domkniętych albo otwartych). Takie zbiory nazywać się będą n-wymiarowymi prostokątami lub po prostu prostokątami. Miarę Jordana takiego prostokąta definiuje się jako iloczyn długości przedziałów:

Miara zewnętrzna – monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował grecki matematyk Constantin Carathéodory; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory’ego.MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

Niech będzie skończoną sumą prostokątów,

Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

dla dowolnego

Objętość – miara przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny, jednostka zbyt duża do wykorzystania w życiu codziennym. Z tego względu najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm = 0,001 m³).Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) – miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Nie można zdefiniować miary Jordana po prostu jako sumy miar poszczególnych prostokątów, ponieważ może się zdarzyć, że prostokąty będą się na siebie istotnie nakładać. Każdy taki zbiór może jednak być zapisany jako suma innej skończonej rodziny prostokątów, które są wzajemnie rozłączne, i można zdefiniować miarę Jordana jako sumę miar tych rozłącznych prostokątów. Można pokazać, że taka definicja miary Jordana zbioru jest niezależna od reprezentacji za pomocą skończonej sumy rozłącznych prostokątów. Właśnie w celu dekompozycji na rozłączne zbiory korzysta się z założenia, że prostokąty złożone są z półotwartych przedziałów.

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.


Podstrony: 1 [2] [3]




Warto wiedzieć że... beta

Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:
Miara Lebesgue’a (czyt. „lebega”) – pojęcie teorii miary formalizujące i uogólniające intuicje związane z takimi pojęciami (w zależności od wymiaru) jak długość, pole powierzchni czy objętość bryły. Historycznie pojęcie miary (nazywanej dziś miarą Lebesgue’a) pochodzi z pracy Henriego Lebesgue’a, dotyczącej rozszerzenia pojęcia całki na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż przedziały domknięte (tzw. całka Lebesgue’a).
Marie Ennemond Camille Jordan (ur. 5 stycznia 1838 w Lyonie, zm. 22 stycznia 1922 w Paryżu) – matematyk francuski znany szerzej pod swoim trzecim imieniem jako Camille Jordan.
Sympleks – w matematyce zbiór wypukły, będący uogólnieniem trójkąta i czworościanu na dowolną przestrzeń liniową.
Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować". Istnieją dwie nierównoważne konwencje użycia terminu zbiór przeliczalny w matematyce:
Miara wewnętrzna – funkcja przypisująca wszystkim podzbiorom danego zbioru "rozmiar", będąca pewnym uogólnieniem wewnętrznej miary Jordana.

Reklama