Liczby Bernoulliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako gdzie jest numerem porządkowym liczby, wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: „w pół kwadransa”.

Rekurencja, zwana także rekursją (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie.MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

Definicja[ | edytuj kod]

Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza – podana niżej jako definicja 1 i starsza – niżej cytowana jako definicja 2. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji 1 oznacza się przez a według definicji 2 – przez Przy tym liczby stanowią podzbiór właściwy liczb

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.John Horton Conway (ur. 26 grudnia 1937 w Liverpoolu, zm. 11 kwietnia 2020 w Princeton) – angielski matematyk, twórca gry w życie.

Liczby Bernoulliego – definicja 1[ | edytuj kod]

Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

Szereg powyższy jest zbieżny dla

Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców. Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:

gdzie

Biblioteka Narodowa Francji (fr. Bibliothèque nationale de France, BnF) – francuska biblioteka narodowa, znajdująca się w Paryżu. Przewidziana jest jako repozytorium dla wszystkich materiałów bibliotecznych, wydawanych we Francji. Obecnym dyrektorem Biblioteki jest Bruno Racine.Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.

Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego, o indeksach nieparzystych większych od 2, są równe 0.

Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.

Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od :

Liczby Bernoulliego – definicja 2[ | edytuj kod]

Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

Donald Ervin Knuth (ur. 10 stycznia 1938 r. w Milwaukee) – amerykański matematyk, informatyk, emerytowany profesor na katedrze informatyki Uniwersytetu Stanforda.Regularne liczby pierwsze – w teorii liczb jest to klasa liczb pierwszych wprowadzona przez niemieckiego matematyka Ernsta Kummera.

Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od :

Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Powiązanie pomiędzy liczbami i opisuje poniższy wzór:

Gemeinsame Normdatei (GND) – kartoteka wzorcowa, stanowiąca element centralnego katalogu Niemieckiej Biblioteki Narodowej (DNB), utrzymywanego wspólnie przez niemieckie i austriackie sieci biblioteczne.


Podstrony: 1 [2] [3] [4]




Reklama