Lemat Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lemat Riemanna[ | edytuj kod]

Niech będzie funkcją ciągłą z wyjątkiem skończonej liczby punktów tego przedziału. Wówczas

Twierdzenie Heinego-Borela charakteryzuje zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej. Twierdzenie to najprawdopodobniej udowodnił wcześniej Dirichlet, przypisywane jest jednak Heinemu i Borelowi.Twierdzenie Heinego-Cantora – nazwane na cześć Heinricha Heinego oraz Georga Cantora twierdzenie mówiące że każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.

Dowód[ | edytuj kod]

1. Dla funkcji tożsamościowo równej 1[ | edytuj kod]

w związku z tym twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji f(x) = 1.

Całka oznaczona – w matematyce, w zależności od kontekstu, synonim nazwy "całka Riemanna" albo ogólniej: określenie odnoszące się do tych pojęć całki, dla których zachodzi pewna wersja wzoru Newtona-Leibniza, jak na przykład:Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

2. Dla funkcji [ | edytuj kod]

3. Dla funkcji liniowej gdzie [ | edytuj kod]

Słuszność twierdzenia dla tak określonej funkcji wynika z punktów 1. i 2. oraz własności liniowości całki oznaczonej.

Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.q.e.d. – skrót od łacińskiego zwrotu Quod erat demonstrandum (co było do udowodnienia). Najpowszechniej stosowanymi polskimi odpowiednikami są skróty c.n.d. ("czego należało dowieść"), c.b.d.u. ("co było do udowodnienia"), c.b.d.o. ("co było do okazania") oraz c.k.d. ("co kończy dowód").

4. Dla funkcji przedziałami liniowej[ | edytuj kod]

Jeżeli funkcja jest liniowa w skończonej liczbie podprzedziałów przedziału [a; b], to na mocy 3. w każdym z tych podprzedziałów jest słuszny lemat Riemmana, wskutek czego twierdzenie jest słuszne w przedziale [a; b].

5. Dla funkcji ciągłej na przedziale [ | edytuj kod]

Można przypuszczać, że funkcję ciągłą na da się aproksymować za pomocą funkcji przedziałami liniowej z dowolną dokładnością. Oczywistym jest wówczas, że lemat Riemmana (na podstawie punktu 4.) jest prawdziwy także dla dowolnej funkcji ciągłej.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (ur. 17 września 1826 w Breselenz w ówczesnym państwie Hanower, zm. 20 lipca 1866 w miejscowości Selasca, w pobliżu Verbanii na jeziorem Maggiore we Włoszech) - matematyk niemiecki, od 1857 profesor uniwersytetu w Getyndze.Aproksymacja – proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym w ściśle sprecyzowanym sensie. Zazwyczaj aproksymuje się byty (np. funkcje) skomplikowane bytami prostszymi. Często stosowana w przypadku szukania rozwiązań dla danych uzyskanych metodami empirycznymi, które mogą być obarczone błędami.

Istotnie w tym przypadku intuicja nie zawodzi, co można wykazać, przeprowadzając poniższe rozumowanie.

Jeżeli funkcja jest ciągła na to jest jednostajnie ciągła na (na mocy twierdzenia Heinego-Cantora, gdyż jako domknięte i ograniczone przedziały domknięte prostej są zwarte z twierdzenia Heinego-Borela).

Wybierzmy pewną liczbę wybór ten pociąga za sobą istnienie pewnej liczby takiej że dla dowolnych wartości tak, że

Obierzmy następnie liczby w taki sposób, aby

Rozważmy funkcję liniową w każdym z przedziałów i o własności Weźmy należący do przedziału

Korzystając z faktu, że jest liniowa, wiemy, iż leży pomiędzy i dlatego liczba leży pomiędzy liczbami i które mają moduł mniejszy od Co za tym idzie:

Wynika z tego, że dla dowolnej ciągłej funkcji można znaleźć taką funkcję taką, że:

przedziałami liniową, to znaczy (na mocy 4.) spełniającą lemat Riemanna:

czyli:

Co dowodzi słuszności twierdzenia dla funkcji ciągłej.

6. Dla funkcji posiadającej jeden punkt nieciągłości w punkcie [ | edytuj kod]

Całkę występującą w twierdzeniu rozbijamy na sumę całek:

Przy czym funkcje są równe funkcji (odpowiednio) na przedziale i a w punkcie są uzupełnione tak, aby były ciągłe w przedziałach i (korzystamy z faktu, iż zmiana wartości w skończonej liczbie punktów funkcji podcałkowej nie zmienia wartości całki).

Funkcje są ciągłe, więc (na mocy 5.) przechodząc z do nieskończoności, otrzymujemy tezę twierdzenia (równość jest zachowana w przejściu granicznym).

7. Dla funkcji mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości[ | edytuj kod]

Dzieląc przedział na skończoną liczbę podprzedziałów, w których funkcja ma tylko jeden punkt nieciągłości na mocy 6., otrzymujemy tezę twierdzenia, QED.





Reklama