• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Lemat Lindenbauma

    Przeczytaj także...
    Lemat – w matematyce twierdzenie pomocnicze, którego głównym zastosowaniem jest uproszczenie dowodów innych, bardziej istotnych twierdzeń. Formalnie jednak każdy lemat jest pełnoprawnym twierdzeniem, a zaklasyfikowanie pewnego twierdzenia jako lematu wynika jedynie ze sposobu jego użycia w innym, obszerniejszym kontekście. Często zdarzało się, że lemat zyskiwał sobie o wiele większe znaczenie od pierwotnego, znajdując szersze zastosowanie i stając się w zasadzie samodzielnym twierdzeniem, którego nazwa wynika z uwarunkowań historycznych.Logika (gr. λόγος, logos – rozum, słowo, myśl) – wedle klasycznej definicji – nauka o sposobach jasnego i ścisłego formułowania myśli, o regułach poprawnego rozumowania i uzasadniania twierdzeń. Jako taka wraz z retoryką logika stanowiła część filozofii. Współczesna logika wykorzystując metodę formalną znacznie rozszerzyła pole badań włączając w to badania nad matematyką (metamatematyka, logika matematyczna), konstruowanie nowych systemów logicznych (np. logiki wielowartościowe), czysto teoretyczne badania o matematycznym charakterze (np. teoria modeli), zastosowania logiki w informatyce i sztucznej inteligencji (logic for computer science).
    Teoria modeli (nazywana też czasem semantyką logiczną) to dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy.

    Lemat Lindenbauma – twierdzenie metamatematyczne, zwane tradycyjnie lematem. Sformułowane przez polskiego logika ze szkoły lwowsko-warszawskiej, Adolfa Lindenbauma. Ma ono szerokie zastosowanie w teorii modeli, m.in. w dowodach twierdzenia o pełności tzw. metodą henkinowską.

    Lemat Lindenbauma głosi, że dowolny niesprzeczny zbiór formuł można rozszerzyć do niesprzecznego i zupełnego zbioru formuł.

    Adolf Lindenbaum (ur. 12 czerwca 1904 w Warszawie, zm. we wrześniu 1941 w Ponarach) - polski logik i matematyk żydowskiego pochodzenia, związany ze szkołą lwowsko-warszawską. Jego żoną była Janina Hosiasson-Lindenbaum.Szkoła lwowsko-warszawska – polska filozoficzna szkoła naukowa zapoczątkowana przez Kazimierza Twardowskiego pod koniec XIX wieku we Lwowie i rozwijana dalej przez jego uczniów również w Warszawie; liczący się w swoim czasie na świecie ośrodek myśli filozoficznej i logicznej.

    Zapis formalny jest następujący (przez X oznaczamy zbiór formuł, a przez Fm zbiór wszystkich formuł nad danym przeliczalnym alfabetem):

    Dowód lematu Lindenbauma[ | edytuj kod]

    Tw.

    Dowód:

    Niech X będzie zbiorem niesprzecznym. Niech ciąg formul będzie wyliczeniem zbioru formuł Fm. Taki ciąg istnieje, bo formuł jest przeliczalnie wiele. Określmy:

  • (Oznaczenia będziemy używać aby pokazać, że chodzi o użycie metajęzykowe).

    Aby udowodnić lemat Lindenbauma, musimy pokazać trzy rzeczy: (a) zawieranie się X w Y (b) zupełność Y i (c) niesprzeczność Y.

    Zawieranie się[ | edytuj kod]

    Z konstrukcji i Zatem X zawiera się w Y.

    Zupełność Y[ | edytuj kod]

    Twierdzimy, że jest zupełny, czyli Dowód: Ustalmy Niech Są dwa przypadki:

  • Przypadek 1.
  • Przypadek 2.
  • Ad 1: więc

    Ad 2: więc

    Niesprzeczność Y[ | edytuj kod]

    Twierdzimy, że Y jest niesprzeczny. Dowodzimy przez indukcję po n, że dla każdego n jest niesprzeczne:

    (0) jest niesprzeczny z założenia. [krok zerowy]

    (i) załóżmy, że jest niesprzeczny. [założenie indukcyjne]

    (T) jest niesprzeczny. [teza indukcyjna]

    Fakt:

  • Przypadek 1. Z definicji Z Faktu: jest niesprzeczny.
  • Przypadek 2. Wtedy Z (i), jest niesprzeczny.
  • Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Woleński Jan, Filozoficzna szkoła lwowsko-warszawska, PWN, Warszawa 1985.




  • Reklama

    Czas generowania strony: 0.92 sek.