Lemat Jordana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lemat Jordana – twierdzenie analizy zespolonej często używane w połączeniu z twierdzeniem o residuach do obliczania całek krzywoliniowych oraz całek niewłaściwych. Twierdzenie nosi nazwisko francuskiego matematyka Camille’a Jordana.

Całka niewłaściwa — rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.Twierdzenie o residuach – twierdzenie analizy zespolonej dostarczające metody obliczania wartości całek krzywoliniowych funkcji meromorficznych. Uogólnia ono twierdzenie Cauchy’ego (orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zeru). Twierdzenie o residuach umożliwia obliczenie niektórych bardziej złożonych całek rzeczywistych.

Sformułowanie[ | edytuj kod]

Dana jest funkcja holomorficzna określona w górnej półpłaszczyźnie oraz ciągła (na półpłaszczyźnie włącznie z osią rzeczywistą) postaci

Lemat Jordana mówi, że jeżeli zachodzi warunek

Całka krzywoliniowa – całka, w której całkowana funkcja przyjmuje wartości wzdłuż pewnej krzywej (regularnej). Gdy krzywa całkowania jest zamknięta, to całkę nazywa się niekiedy całką okrężną.Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.

gdzie:

Marie Ennemond Camille Jordan (ur. 5 stycznia 1838 w Lyonie, zm. 22 stycznia 1922 w Paryżu) – matematyk francuski znany szerzej pod swoim trzecim imieniem jako Camille Jordan. Funkcja holomorficzna – główny obiekt badań analizy zespolonej; funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych C {displaystyle mathbb {C} } o wartościach w C {displaystyle mathbb {C} } , która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru.

(droga po górnym półokręgu o środku w zerze i promieniu ), to

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dolnej półpłaszczyzny gdy przyjmiemy





Reklama