• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Lemat Barbalata



    Podstrony: 1 [2] [3]
    Przeczytaj także...
    Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.Całka niewłaściwa — rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.

    Lemat Barbălata – twierdzenie analizy matematycznej udowodnione w 1959 przez Ioana Barbălata, które mówi, że jeżeli funkcja

    jest jednostajnie ciągła oraz całka niewłaściwa

    istnieje i jest skończona, to

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Dowód nie wprost (dowód apagogiczny, dowód sokratejski, łac. reductio ad absurdum - sprowadzenie do sprzeczności), to forma dowodu logicznego, w którym z założenia o nieprawdziwości tezy wyprowadza się sprzeczność ze zdaniem prawdziwym (założenie nieprawdziwości twierdzenia prowadzi do sprzeczności), co pozwala przyjąć że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, a sama teza prawdziwa. Inaczej sposób dowodzenia twierdzeń przez wykazanie sprzeczności między zaprzeczeniem dowodzonej tezy a przyjętymi założeniami.
    .

    Dowód[ | edytuj kod]

    Rozumując nie wprost: niech nie zbiega do gdy Oznacza to, że dla pewnego oraz wszelkich istnieje takie że

    Niech będzie liczbą odpowiadającą w definicji jednostajnej ciągłości, którą spełnia z założenia Oznacza to, że

    o ile tylko

    Stąd dla wszelkich zachodzi {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big |}f(t){\Big |}&={\Big |}f(t_{n})-{\big (}f(t_{n})-f(t){\big )}{\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\Big |}f(t_{n})-f(t){\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\\&\geqslant \varepsilon _{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}},\end{aligned}}}

    co wobec dodatniości oznacza

    Z jednej strony więc

    przy równość (*) wynika stąd, że funkcja w przedziale nie zmienia znaku; gdyby bowiem zmieniała, to jako funkcja ciągła musiałaby, wbrew wykazanej zależności (2), osiągać w pewnym punkcie przedziału wartość 0 (zob. własność Darboux). Nierówność (**) wynika bezpośrednio z (1).

    Z drugiej jednak strony,

    co prowadzi do sprzeczności.

    Podstrony: 1 [2] [3]




    Reklama

    Czas generowania strony: 0.958 sek.