• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Krzywizna krzywej



    Podstrony: [1] 2 [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Encyklopedia PWN – encyklopedia internetowa, oferowana – bezpłatnie i bez konieczności uprzedniej rejestracji – przez Wydawnictwo Naukowe PWN. Encyklopedia zawiera około 122 tysiące haseł i 5 tysięcy ilustracji.Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego – w analizie matematycznej twierdzenie mówiące o tym, że że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła f, to pochodna jej funkcji górnej granicy całkowania jest równa f. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.
    Dowód[ | edytuj kod]
    Kruemmung winkel illustration.svg

    Krzywizna krzywej w punkcie jest równa granicy ilorazu kąta pomiędzy stycznymi poprowadzonymi w punktach i a długością łuku między a gdy

    Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.Krzywa Lissajous (wym. lisaʒu) bądź Bowditcha – w matematyce krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzorem

    Kąt można inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:

    Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

    Natomiast długość łuku jako całkę oznaczoną:

    Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).Biblioteka Narodowa Izraela (hebr. הספרייה הלאומית; dawniej: Żydowska Biblioteka Narodowa i Uniwersytecka, hebr. בית הספרים הלאומי והאוניברסיטאי) – izraelska biblioteka narodowa w Jerozolimie.

    Wtedy, zważając na to, że

    Normalna do krzywej C w punkcie X to prosta L, przechodząca przez ten punkt i prostopadła do stycznej do krzywej w tym punkcie.Ewolwenta (łac. evolvens, rozwijający) a. rozwijająca krzywej Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): k – krzywa wykreślona przez punkt leżący na prostej toczącej się po krzywej Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): k . Krzywa A {displaystyle A} jest dla swojej ewolwenty ewolutą.

    Ponieważ mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym dlatego stosujemy regułę de l’Hospitala:

    Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców. Wielkość fizyczna – właściwość fizyczna ciała lub zjawiska, którą można określić ilościowo, czyli zmierzyć.

    Pochodna jest równa natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, mamy:

    Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).Kąt (płaski) w geometrii euklidesowej – każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Czyli jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek).

    Dla funkcji uwikłanej wystarczy zamienić na przez co wzór przyjmuje następującą postać:

    Ewoluta (łac. evolutus, rozwinięty) a. rozwinięta krzywej k {displaystyle k} – krzywa utworzona ze środków krzywizny krzywej k {displaystyle k} .Funkcja uwikłana – funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości funkcji od jej argumentu, lecz bardziej złożonym związkiem, który nie daje się prosto przekształcić na jawny wzór.

    Jest wtedy jednak zależny zarówno od jak i

    Wzory Freneta w geometrii różniczkowej są to wzory opisujące związki pomiędzy wielkościami opisującymi krzywą parametryczną (o parametryzacji naturalnej) w przestrzeni trójwymiarowej.Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

    Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.

    Inny dowód[ | edytuj kod]

    Krzywa dana w sposób jawny[ | edytuj kod]

    Promień krzywizny krzywej

    Dana jest krzywa płaska o równaniu i ciągłych pochodnych Na krzywej wyróżnimy dwa jej punkty i Styczne do krzywej poprowadzone w tych punktach opisane są równaniami

    Symbol bądź wyrażenie nieoznaczone – wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji. Zalicza się do nich:Franciszek Leja (ur. 27 stycznia 1885 w Grodzisku Górnym, zm. 11 października 1979 w Krakowie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli krakowskiej szkoły matematycznej.

    Proste prostopadłe do tych stycznych w punktach zwane normalnymi, otrzymamy, zmieniając wartości współczynników kierunkowych w równaniach (a)

    Punkt w którym przecinają się te normalne, otrzymamy, rozwiązując układ równań (b)

    Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.Krzywa – w matematyce jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, czy geometria różniczkowa; stosowane również w mowie potocznej. Mimo intuicyjnej prostoty okazało się ono być bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na płaszczyźnie lub przestrzeni trójwymiarowej), w tym także linię prostą, która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.

    gdzie:

    Gemeinsame Normdatei (GND) – kartoteka wzorcowa, stanowiąca element centralnego katalogu Niemieckiej Biblioteki Narodowej (DNB), utrzymywanego wspólnie przez niemieckie i austriackie sieci biblioteczne.Łuk zwykły krzywej – na płaszczyźnie: miejsce geometryczne punktów, których współrzędne spełniają równanie y=f(x), gdzie odcięta x przybiera wartości z przedziału domkniętego [a,b] i w tym przedziale funkcja f(x) jest ciągła i ma ciągłą pochodną. Łuk zwykły ma wiele ważnych własności. Podczas wzrastania odciętej x od x=a do x=b punkt K(x,y) przebiega łuk AB krzywej w jednym kierunku od punktu A do punktu B (punkty te odpowiadają wartościom x=a i x=b). Punkty K(x,y) łuku odpowiadają punktom przedziału domkniętego [a,b] osi odciętych. Łuk zwykły nie może przecinać siebie.

    Dzielimy teraz licznik i mianownik przez i po przejściu do granicy (punkt zmierza do punktu ) otrzymujemy proste wzory dla współrzędnych środka krzywizny krzywej w punkcie

    gdzie:

    Promień krzywizny krzywej otrzymamy z równania

    Krzywa opisana parametrycznie[ | edytuj kod]

    Przez dwa punkty krzywej opisanej równaniami przechodzi sieczna dana równaniem lub

    Dzieląc licznik i mianownik przez i przechodząc do granicy otrzymujemy

    gdzie są pochodnymi względem parametru liczonymi w punkcie

    Przez punkty poprowadzimy dwie normalne o równaniach

    Rozwiązaniem tych równań są współrzędne punktu w którym przecinają się proste normalne

    gdzie:

    Licznik i mianownik ułamka dzielimy przez i po przejściu do granicy otrzymujemy współrzędne środka krzywizny krzywej w jej punkcie

    Promień krzywizny równy jest odległości punktów i

    Krzywa jako funkcja uwikłana[ | edytuj kod]

    Dana jest krzywa o równaniu gdzie jest funkcją ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi dwu pierwszych rzędów w otoczeniu punktu

    Jeżeli to w otoczeniu punktu można funkcji nadać postać gdzie i mamy

    Równanie stycznej do krzywej przybiera teraz postać

    a równania normalnych w punktach

    Po wprowadzeniu oznaczeń

    rozwiązanie tych równań ma postać

    Po przejściu do granicy otrzymujemy

    gdzie:

    Promień krzywizny wyraża się wzorem

    Podstrony: [1] 2 [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 1.406 sek.