Krzywa pogoni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Konstrukcja prostej krzywej pogoni

Krzywa pogonikrzywa matematyczna, określająca tor punktu („ścigający”), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu („ścigany”), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.

Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

Prosta krzywa pogoni[ | edytuj kod]

Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.

Tor ruchu (trajektoria) – w kinematyce krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało. Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało wynosi 0, wówczas z I zasady dynamiki Newtona wynika, że ciało porusza się po torze prostoliniowym. Jeżeli na poruszające się ciało działa niezrównoważona siła, której kierunek nie jest styczny do toru ruchu, wówczas tor ruchu jest krzywoliniowy.Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

Definicja[ | edytuj kod]

Niech będzie punktem startowym „ściganego”, a punktem startowym „ścigającego”.

Pierre Louis Moreau de Maupertuis (ur. 28 września 1698, zm. 27 lipca 1759) – matematyk, fizyk, filozof, geodeta i astronom francuski.Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).

Niech punkt porusza się ruchem jednostajnym z prędkością w jakimś kierunku, a punkt z prędkością zawsze w kierunku punktu Wówczas tor punktu to prosta krzywa pogoni.

Krzywa – w matematyce jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, czy geometria różniczkowa; stosowane również w mowie potocznej. Mimo intuicyjnej prostoty okazało się ono być bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na płaszczyźnie lub przestrzeni trójwymiarowej), w tym także linię prostą, która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.

Niech

Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k

Równanie w | edytuj kod]

Niech i porusza się wzdłuż osi : dla dla

Wyprowadzenie[ | edytuj kod]

W dowolnym momencie „ścigany” znajduje się na stycznej do toru „ścigającego”, więc:

co prowadzi do równania różniczkowego:

gdzie

Z wynika:

po zróżniczkowaniu po :

Dalej stosowany jest wzór na długość łuku:

Z wynika, że:

Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po :

Rozwiązanie po podstawieniu

prowadzi do:

po scałkowaniu:

a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z otrzymuje się:

Ponownie całkuje się, ze stałą Z warunku brzegowego:

wynika więc z

wynika: względnie dla

czyli:

skąd wynikają wzory podane na początku.

Wyrażenie zależności odwrotnej nie jest możliwe w funkcjach elementarnych.

Zobacz też[ | edytuj kod]

  • lista krzywych
  • Linki zewnętrzne[ | edytuj kod]

  • Applet Javy symulujący pogoń (niem.)
  • Eric W. Weisstein, Pursuit Curve, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).




  • Reklama