Krata (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Dzielniki 60 tworzą kratę.
Diagram Hassego kraty Tamriego. Warto zauważyć, iż punkty kraty tworzą wielościan, zwany angielskim terminem associahedron, co można przetłumaczyć jako „wielościan asocjacji”.

Kraty (ang. lattice) – struktury matematyczne, które można opisywać albo algebraicznie, albo w sensie częściowych porządków.

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

Struktura algebraiczna[ | edytuj kod]

Krata w sensie algebraicznym to struktura algebraiczna gdzie jest (niepustym) zbiorem, a i są odwzorowaniami z w spełniającymi dla dowolnych następujące warunki:

Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Przykładem kraty jest dowolna algebra Boole’a.

W każdej kracie spełniona jest równoważność: Relacja zdefiniowana za pomocą równoważności

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.

jest częściowym porządkiem, w którym każda para ma kres górny i kres dolny:

Pas to półgrupa, której wszystkie elementy są idempotentami. Pasy były badane przez amerykańskiego matematyka A. H. Clifforda.W matematyce, termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń (w najbardziej typowych przypadkach o liczbach naturalnych), ale także jest on używany na oznaczenie konstrukcji pewnych obiektów.
Krata permutacji zbioru czteroelementowego.

Niekonieczność aksjomatu 1[ | edytuj kod]

Aksjomat 1 podaje się tradycyjnie w definicji kraty, ale wynika on z aksjomatu 4:

Półgrupa – Grupoid ⟨ A , ⊙ ⟩ {displaystyle langle A,odot angle } , którego działanie ⊙ {displaystyle odot } jest łączne, czyli:Biblioteka Narodowa Francji (fr. Bibliothèque nationale de France, BnF) – francuska biblioteka narodowa, znajdująca się w Paryżu. Przewidziana jest jako repozytorium dla wszystkich materiałów bibliotecznych, wydawanych we Francji. Obecnym dyrektorem Biblioteki jest Bruno Racine.

Niech Wtedy na mocy lewej części aksjomatu 4 otrzymujemy

a na mocy prawej:

co po podstawieniu do poprzedniego wzoru daje:

Częściowy porządek (ang. partial order) – relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna albo równoważnie antysymetryczny praporządek.SUDOC (fr. Système Universitaire de Documentation, pol. Uniwersytecki System Dokumentacji) – centralny katalog informacji bibliograficznej francuskiego szkolnictwa wyższego.

Podobnie dowodzi się, że

Hiszpańska Biblioteka Narodowa (Biblioteca Nacional de España) – największa biblioteka w Hiszpanii i jedną z największych na świecie. Znajduje się w Madrycie, a dokładnie przy Paseo de Recoletos. Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.


Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




Warto wiedzieć że... beta

Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.
Relacja – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego skończonej liczby zbiorów; definicja ta oddaje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (elementy wspomnianych zbiorów pozostają w związku albo łączy je pewna zależność, czy też własność lub nie). Najważniejszymi relacjami są relacje dwuargumentowe, tj. między elementami pary zbiorów (opisane w osobnym artykule, w tym funkcje i działania jednoargumentowe); relacje jednoargumentowe to po prostu podzbiory pewnego zbioru.
Zbiór potęgowy – dla danego zbioru X {displaystyle X} zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami S ( X ) {displaystyle {mathcal {S}}(X)} , P ( X ) {displaystyle {mathcal {P}}(X)} lub 2 X {displaystyle 2^{X}} . W aksjomatycznej teorii zbiorów ZF istnienie zbioru potęgowego postuluje aksjomat zbioru potęgowego.
Największy wspólny dzielnik – dla danych dwóch (lub więcej) liczb całkowitych największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich. Pojęcie to ma wiele uogólnień, które przedstawiono w dalszej części artykułu.
Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole’a, mówiące, że
Marshall Harvey Stone (ur. 8 kwietnia 1903 w Nowym Jorku, zm. 9 stycznia 1989 w Madrasie w Indiach) – amerykański matematyk, wniósł ważny wkład w rozwój analizy matematycznej, analizy funkcjonalnej, topologii i algebry. Wiele istotnych twierdzeń w tych dziedzinach nosi dziś jego imię.

Reklama