• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Iloczyny grup



    Podstrony: [1] [2] 3 [4]
    Przeczytaj także...
    Grupa diedralna a. dwuścianu – w teorii grup, dziale algebry, grupa przekształceń, mianowicie izometrii płaszczyznowych, wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną); zarazem jest to grupa izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.
    Iloczyn półprosty[ | edytuj kod]

    Iloczyn półprosty zewnętrzny[ | edytuj kod]

    Niech będą dane grupy i oraz homomorfizm grupy w grupę automorfizmów grupy

    Skończenie generowana grupa przemienna – w algebrze abstrakcyjnej grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

    Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup i za pośrednictwem oznaczanym nazywa się grupę składająca się z elementów wraz z działaniem określonym wzorem

    Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

    oraz odwrotnością daną przez

    Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

    i elementem neutralnym

    Homomorfizm grup – przekształcenie zachowujące strukturę grup, tj. homomorfizm grup jako struktur algebraicznych. Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy grup są klasy morfizmami kategorii grup, z tego też względu nazywane są one czasem morfizmami grup.Zbiór skończony − zbiór o skończonej liczbie elementów. Nieujemną liczbę naturalną określającą ilość elementów zbioru skończonego nazywa się mocą zbioru. Zbiór skończony ma moc skończoną. Najmniejszym zbiorem skończonym jest zbiór pusty  Ø.

    gdzie oraz są elementami neutralnymi.

    Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).Grupa trywialna – w teorii grup grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami.

    Iloczyn półprosty wewnętrzny[ | edytuj kod]

    Niech będzie podgrupą normalną w Dopełnieniem normalnym podgrupy w nazywamy zbiór spełniający warunki oraz (równoważnie ).

    Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    Grupę nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup i co oznacza wtedy i tylko wtedy, gdy jest dopełnieniem normalnym

    Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować". Istnieją dwie nierównoważne konwencje użycia terminu zbiór przeliczalny w matematyce:Podgrupa normalna (niezmiennicza, dzielnik normalny) – rodzaj podgrupy umożliwiający badanie struktury grupy poprzez grupy ilorazowe, w których podgrupa ta jest utożsamiana z elementem neutralnym.

    Jeżeli grupa jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup i to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym za pośrednictwem homomorfizmu określonego jako czyli sprzężenie przez Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup oraz przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

    Iloczyn kompleksowy – w teorii grup dwuargumentowe działanie wewnętrzne określone na niepustych podzbiorach danej grupy.Geometria euklidesowa – klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii.

    Własności[ | edytuj kod]

  • wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm jest trywialny.
  • jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy są przemienne oraz jest trywialny.
  • Przykłady[ | edytuj kod]

  • Grupa diedralna rzędu jest iloczynem półprostym wewnętrznym
  • Grupa izometrii przestrzeni jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.
  • Zobacz też[ | edytuj kod]

  • iloczyn kompleksowy
  • holomorf
  • suma prosta
  • Grupa cykliczna – grupa, której wszystkie elementy można wyrazić za pomocą potęg pewnego jej elementu. Równoważnie jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).Translacja, przesunięcie – przekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez deformacji i obracania.


    Podstrony: [1] [2] 3 [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.
    Podgrupa – w teorii grup zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

    Reklama

    Czas generowania strony: 1.022 sek.