Iloczyn mieszany

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Iloczyn mieszanydziałanie określone dla trzech wektorów trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jako iloczyn skalarny jednego z nich przez iloczyn wektorowy dwóch pozostałych. Jeśli więc są dowolnymi wektorami to ich iloczyn mieszany ma postać:

Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

Ponieważ zachodzą tożsamości

Konwencja sumacyjna Einsteina – to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:

więc każde z powyższych trzech wyrażeń może być użyte w definicji iloczynu mieszanego.

Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.Objętość – miara przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny, jednostka zbyt duża do wykorzystania w życiu codziennym. Z tego względu najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm = 0,001 m³).

Za pomocą symbolu Leviego-Civity iloczyn mieszany można określić wzorem (w konwencji sumacyjnej Einsteina)

Interpretacja geometryczna[ | edytuj kod]

Trzy wektory określające równoległościan z zaznaczonymi odpowiednimi iloczynami wektorowymi i mieszanymi.
 Zapoznaj się również z: orientacjawyznacznik.

W dodatnio zorientowanym układzie współrzędnych iloczyn mieszany opisuje objętość równoległościanu rozpiętego przez dane trzy wektory. Jeśli orientacja przestrzeni nie jest narzucona, to wspomniana objętość również jest zorientowana w tym sensie, iż zależy ona od kolejności wektorów (parzystości ich permutacji). Zmiana orientacji powoduje zmianę znaku iloczynu, w związku z tym iloczyn mieszany nie jest skalarem, a raczej pseudoskalarem (iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, a iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, zaś iloczyn skalarny pseudowektora i wektora jest pseudoskalarem). Wynika stąd także, że zmiana kolejności wektorów w iloczynie wektorowym zmienia znak iloczynu mieszanego (iloczyn skalarny jest przemienny i nie wpływa na znak iloczynu mieszanego),

Przekształcenie wieloliniowe – w algebrze liniowej funkcja określona na iloczynie kartezjańskim przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi.Permutacja – wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru na siebie. Najczęściej termin ten oznacza funkcję na zbiorach skończonych.

Iloczyn mieszany można traktować jako jeszcze jedno oznaczenie wyznacznika: iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy ich wyznacznikowi bądź wyznacznikowi macierzy stopnia 3 z wektorami zapisanymi w niej wierszowo bądź kolumnowo (transponowanie macierzy nie zmienia wyznacznika),

Skalar – w algebrze (liniowej) element ustalonego ciała nad którym zbudowany jest dowolny moduł (przestrzeń liniowa).Pseudoskalar – wielkość zachowywana w przesunięciu równoległym i obrocie układu współrzędnych, ale zmieniająca znak przy zmianie zwrotu każdej osi na przeciwny. W teorii algebr Clifforda nad n-wymiarową przestrzenią liniową z bazą { e 1 , … , e n } {displaystyle scriptstyle {mathbf {e} _{1},dots ,mathbf {e} _{n}}} przestrzenią pseudoskalarów jest jednowymiarowa przestrzeń rozpięta na iloczynie e 1 … e n {displaystyle scriptstyle mathbf {e} _{1}dots mathbf {e} _{n}} . Iloczyn wektora przez pseudoskalar daje pseudowektor.

gdzie wielkość ta jest niezmiennicza ze względu na obroty. Stąd iloczyn mieszany ma wszystkie własności wyznacznika, w tym wieloliniowość i alternacyjność; jest więc unormowaną formą objętości.

Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).Operacją n-arną (działaniem n-arnym) ω {displaystyle omega } w zbiorze G dla liczby całkowitej n > 0 nazywamy funkcję, która każdemu ciągowi (a1, ..., an) n elementów zbioru G przyporządkowuje element a1...an ω {displaystyle omega } zbioru G. Innymi słowy jest to dowolne odwzorowanie n-tego iloczynu kartezjańskiego G zbioru G w zbiór G. W przypadku n = 1 będzie to dowolne odwzorowanie zbioru G w zbiór G (taką operację nazywamy operacją unarną).

Wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy zeru, gdyż „równoległościan” przez nie wyznaczony jest wtedy płaski (zdegenerowany) i nie ma objętości. Ponadto

Pseudowektor (wektor osiowy) – wielkość fizyczna, która przy ciągłych transformacjach układu odniesienia (takich jak translacja lub obrót) przekształca się jak wektor, natomiast przy odbiciu zwierciadlanym i symetrii środkowej transformuje się odmiennie (np. zmienia zwrot wektora).Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

Zachodzi także następująca własność:

Równoległościan to wielościan o trzech parach równoległych przeciwległych ścian. Ściany równoległościanu są zawsze równoległobokami. Równoległościan ma 8 wierzchołków i 12 krawędzi.Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.

Iloczyn zewnętrzny[ | edytuj kod]

 Osobne artykuły: algebra zewnętrzna i algebra geometryczna.
Trójwektor jako forma objętości, czyli zorientowany element objętości; obiekt do niego dualny jest skalarem o wartości równej jego objętości.

W algebrach zewnętrznej i geometrycznej iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów jest dwuwektorem, czyli zorientowanym elementem płaszczyzny, podczas gdy iloczyn zewnętrzny trzech wektorów to trójwektor, czyli zorientowany element objętości; są to naturalne uogólnienia wektora jako zorientowanego elementu prostej. Dla danych wektorów ich iloczyn zewnętrzny

Iloczyn wektorowy – działanie dwuargumentowe przyporządkowujące parze wektorów 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej pewien wektor tej przestrzeni.

jest trójwektorem, tzn. pseudoskalarem dualnym do iloczynu mieszanego, o wartości równej iloczynowi mieszanemu (nawiasy pominięto, ponieważ iloczyn zewnętrzny jest łączny, choć nie jest przemienny). Trójwektorowi odpowiada równoległościan rozpięty przez wektory gdzie dwuwektorom odpowiadają równoległoboczne ściany równoległościanu.

Przypisy[ | edytuj kod]

  1. Iloczyn mieszany wektorów, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-30].




Reklama