Iloczyn kompleksowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Iloczyn kompleksowydwuargumentowe działanie wewnętrzne określone na niepustych podzbiorach danej grupy.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.

Pojęcie kompleksu ma na celu wykluczenie z rozważań mało interesującego z algebraicznego punktu widzenia podzbioru pustego (najmniejszą podgrupą w grupie jest jednoelementowa podgrupa trywialna). Unifikująca notacja iloczynu kompleksów, którymi są tak podgrupy, jak i warstwy danej grupy, skraca język opisu struktury grupy: ułatwia definicję podgrupy permutowalnej, opis konstrukcji grupy ilorazowej, czy iloczynów wewnętrznych (zob. osobną sekcję).

Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.Grupa ilorazowa – w teorii grup zbiór warstw danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej, tj. szczególny podział grupy (na niepuste podzbiory) uwzględniający jej strukturę, który sam tworzy grupę z naturalnie określonym działaniem pochodzącym od grupy wyjściowej. Z teoriomnogościowego punktu widzenia jest to zbiór ilorazowy, w którym wprowadzono zgodne z działaniem w grupie działanie na klasach relacji równoważności wyznaczającej wspomniany podział.

Nie wykluczając przypadku zbioru pustego otrzymuje się iloczyn podzbiorów, przy czym iloczyn jakiegokolwiek podzbioru ze podzbiorem pustym daje podzbiór pusty.

Definicje i oznaczenia[ | edytuj kod]

 Zapoznaj się również z: grupapodzbiór.

Kompleksem grupy nazywa się dowolny jej niepusty podzbiór; jeżeli są kompleksami w grupie to ich iloczynem nazywa się kompleks

Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.Zbiór pusty - zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. W teorii mnogości ZF, będącej najpopularniejszą aksjomatyką współczesnej matematyki, istnienie zbioru pustego postuluje aksjomat zbioru pustego, natomiast aksjomat ekstensjonalności gwarantuje jego jedyność. Zbiór pusty oznaczany jest zwykle symbolami ∅ {displaystyle varnothing } , ∅ {displaystyle emptyset } , ∅ bądź {}.

Kompleks gdzie jest elementem neutralnym jest elementem neutralnym iloczynu kompleksowego; przyjmuje się również następujące oznaczenie „kompleksu odwrotnego”

Monoid - półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie, monoid to algebra ( S , e , ∗ ) {displaystyle (S,e,*)} , sygnatury ( 0 , 2 ) {displaystyle (0,2)} , gdzie S jest niepustym zbiorem, natomiastIloczyny (produkty) grup – w teorii grup są to sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Dla kompleksu jednoelementowego iloczyny oraz zapisuje się zwyczajowo oraz w przypadku, gdy jest podgrupą w kompleksy oraz są w istocie warstwami (odpowiednio lewo- i prawostronną) grupy względem wyznaczonymi przez

Element absorbujący – element zbioru z działaniem dwuargumentowym, którego iloczyn z dowolnym innym elementem zbioru jest tym elementem absorbującym. W teorii półgrup, element absorbujący nazywany jest elementem zerowym, ponieważ nie istnieje ryzyko pomylenia go z innym pojęciem zera. W tym artykule oba pojęcia są równoznaczne. Element absorbujący może też być nazywany elementem anihilującym.Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

W notacji addytywnej iloczyn kompleksowy przyjmuje postać „sumy kompleksowej” która w geometrii analitycznej znana jest szerzej jako suma Minkowskiego; spójna z przytoczonym oznaczeniem symbolika „kompleksu przeciwnego” i „różnicy kompleksów” jest powodem, dla którego różnicę zbiorów zapisuje się zwykle osobnym symbolem, tj.

Podgrupa – w teorii grup zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Własności i zastosowania[ | edytuj kod]

Charakteryzacja podgrupy za pomocą iloczynu kompleksowego jest bardzo zwarta: kompleks jest podgrupą w wtedy i tylko wtedy, gdy oraz (bądź krócej: ); równoważnie oraz

Iloczyn kompleksowy podgrup oraz sam jest podgrupą w wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupy te permutują, tj. (zob. podgrupa permutowalna). Jeśli choć jedna z podgrup oraz jest normalna, to skąd iloczyn kompleksowy dowolnej podgrupy i podgrupy normalnej również jest podgrupą.

Na zbiorze wszystkich kompleksów grupy iloczyn kompleksowy jest działaniem łącznym i ma element neutralny (jedynkę) niepuste podzbiory tej grupy tworzą więc z działaniem iloczynu kompleksowego monoid; z kolei w przypadku iloczynu podzbiorów podzbiór pusty jest elementem pochłaniającym (zerem).

Ograniczywszy się do konkretnego rodzaju kompleksów dla ww. monoidu można zagwarantować strukturę grupy: jeśli jest normalna, to dla dowolnego skąd iloczyn kompleksowy warstw równy również jest warstwą; dla tak ograniczonego do warstw iloczynu kompleksowego można zapewnić istnienie jednoznacznie wyznaczonej odwrotności dla dowolnej tego rodzaju warstwy: Obserwacje te są kluczowymi elementami konstrukcji grupy ilorazowej z wykorzystaniem iloczynu kompleksowego.

Grupę nazywa się iloczynem ogólnym bądź iloczynem Zappy-Szépa jej podgrup oraz jeżeli oraz tzn. jeżeli choć jedna z tych podgrup jest normalna, to nazywa się iloczynem półprostym podgrup oraz gdy zaś obie są normalne, to jest ich iloczynem prostym (ze względu na sposób konstrukcji z podgrup danej grupy wspomniane iloczyny nazywa się „wewnętrznymi”).

W przypadku grup abelowych, gdzie wszystkie podgrupy są normalne, powyższe trzy rodzaje iloczynów są tożsame i są zwykle nazywane (wewnętrzną) sumą prostą.

Zobacz też[ | edytuj kod]

  • grupa ilorazowa
  • warstwa




  • Reklama