Homeomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania

Homeomorfizm – w topologii, bijekcja pomiędzy przestrzeniami topologicznymi, która jest ciągła oraz której funkcja odwrotna jest również ciągła. Homeomorfizmy, nazywane czasami izomorfizmami topologicznymi, są izomorfizmami w kategorii przestrzeni topologicznych. O przestrzeniach, pomiędzy którymi istnieje homeomorfizm, mówi się, że są homeomorficzne. Z punktu widzenia topologii, przestrzenie takie są nierozróżnialne.

Hipoteza Poincarégo – twierdzenie topologii, sformułowane w pracach Henriego Poincarégo w roku 1904. Przez niemal sto lat nie udawało się dowieść jego poprawności lub go obalić. Rozwiązanie tego problemu stało się jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya w roku 2000. Ostateczne potwierdzenie hipoteza Poincarégo uzyskała w roku 2006.Okrąg jednostkowy – okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0),} , układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem S 1 {displaystyle mathrm {S} ^{1}} ; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.

Definicja homeomorfizmu[ | edytuj kod]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Funkcję

Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).Łamana zamknięta – łamana, która jest jednocześnie krzywą zamkniętą. Suma odcinków A i A i + 1 {displaystyle A_{i}A_{i+1}} , gdzie i = 1 , … , N {displaystyle scriptstyle {i=1,dots ,N}} i A N + 1 = A 1 {displaystyle A_{N+1}=A_{1}} . Szczególny przypadek grafu. Rozcina ona płaszczyznę na dwa obszary, których jest wspólnym brzegiem (twierdzenie Jordana-Dehna).

nazywa się homeomorfizmem, gdy:

  1. jest funkcją różnowartościową,
  2. czyli jest funkcją „na”,
  3. jest funkcją ciągłą,
  4. jest funkcją ciągłą.

Uwaga[ | edytuj kod]

Założenie ciągłości funkcji odwrotnej w powyższej definicji jest konieczne, ponieważ istnieją nieciągłe funkcje odwrotne do ciągłych bijekcji.

Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja po prawej stronie). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów. Za pierwszego teoretyka i badacza grafów uważa się Leonarda Eulera, który rozstrzygnął zagadnienie mostów królewieckich.Kazimierz Kuratowski (ur. 2 lutego 1896 w Warszawie, zm. 18 czerwca 1980 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.

Niech będzie okręgiem jednostkowym z topologią dziedziczoną z płaszczyzny oraz niech

będzie funkcją daną wzorem

Funkcja jest ciągła i bijektywna. Jednak jej funkcja odwrotna nie jest ciągła w punkcie (1,0), gdyż ale obraz żadnego otwartego łuku otaczającego punkt (1,0) nie jest zawarty w otoczeniu punktu .

Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Homeomorfizm a dyfeomorfizm[ | edytuj kod]

Szczególnym przypadkiem homeomorfizmu jest dyfeomorfizm, który można rozpatrywać jeśli dziedzina i przeciwdziedzina są rozmaitościami różniczkowymi. Dyfeomorfizm jest homeomorfizmem klasy którego odwrotność również jest funkcją klasy W szczególności istnieją rozmaitości, które są homeomorficzne, ale nie dyfeomorficzne.

Charakterystyka Eulera (charakterystyka Eulera-Poincare) to niezmiennik topologiczny charakteryzujący powierzchnie (rozmaitości topologiczne).Ryszard Engelking, prof. (ur. 1935 w Sosnowcu) – polski matematyk specjalizujący się w topologii, szczególnie w teorii wymiaru. Autor wielu książek i publikacji z tego zakresu, w tym Topologii ogólnej (przetłumaczonej na angielski), która jest klasyczną pozycją literatury przedmiotu. Ponadto tłumacz literatury francuskiej.


Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]




Warto wiedzieć że... beta

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.
Funkcja „na” a. surjekcja pisane też czasami jako suriekcja – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie.
Wstęga Möbiusa – dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę (jest tzw. powierzchnią jednostronną). Posiada również tylko jedną krawędź – "sklejenie" tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) daje butelkę Kleina. Opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.
Niezmiennik topologiczny to wielkość, struktura lub cecha, która pozostaje niezmienna przy przekształceniach ciągłych. Przykładowo, jeśli rozważamy odwzorowanie okręgu w okrąg to okazuje się, że wszystkie możliwe odwzorowania można zaklasyfikować ze względu na liczbę nawinięć. Jest to liczba mówiąca ile razy należy obiec okrąg będący obrazem przekształcenia przy pojedynczym obiegu okręgu wyjściowego. Liczba ta jest stała i składając badane przekształcenie z dowolnym innym ciągłym przekształceniem nie można jej zmienić. Tym samym zbiór wszystkich ciągłych przekształceń okręgu rozpada się na rozłączne klasy przekształceń, które nawijają okrąg na siebie raz, dwa razy, trzy razy, itd. Struktura tego zbioru odpowiada zatem zbiorowi liczb naturalnych.
Pierścień kołowy – w geometrii euklidesowej zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej ograniczony dwoma okręgami współśrodkowymi o różnych promieniach.
Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowalnych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowalnymi, które jest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również gładkie.
Topologia podprzestrzeni – w topologii i powiązanych z nią działach matematyki topologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.

Reklama