• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Granica funkcji



    Podstrony: [1] 2 [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o. (WSiP) – wydawnictwo, które wydaje głównie podręczniki szkolne i inne materiały edukacyjne. Powstało zarządzeniem ministra edukacji narodowej 9 kwietnia 1945 r., jako Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych (PZWS), z których w 1951 roku wydzielone zostało Państwowe Wydawnictwo Szkolnictwa Zawodowego. W 1974 roku oba wydawnictwa zostały połączone w wydawnictwo pod obecną nazwą i działały w formie przedsiębiorstwa państwowego. Przekształcenie przedsiębiorstwa państwowego Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne w jednoosobową spółkę Skarbu Państwa zostało dokonane przez Ministra Skarbu Państwa w dniu 16 września 1998 r. Od 3 listopada 2004 do 30 sierpnia 2010 przedsiębiorstwo było notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie.Figura geometryczna – w geometrii inna nazwa podzbioru danej przestrzeni, zwykle przestrzeni euklidesowej, afinicznej lub rzutowej.
    Granica w punkcie[ | edytuj kod]

    Funkcja określona na zbiorze ma w punkcie skupienia tego zbioru granicę równą jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków

    Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.<|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>

    1. definicja Heinego: dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji dąży do gdy

    2. definicja Cauchy’ego:

    Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (ur. 31 października 1815 w Ostenfelde w Westfalii, zm. 19 lutego 1897 w Berlinie) – niemiecki matematyk, zwolennik arytmetyzacji analizy matematycznej, twórca precyzyjnego pojęcia granicy funkcji.Starożytność – okres w historii Bliskiego Wschodu, Europy i Afryki Północnej nazywany też antykiem i obejmujący dzieje tych regionów od powstania pierwszych cywilizacji do około V wieku n.e.
    co czytamy następująco: dla każdej liczby istnieje liczba taka, że dla każdego z nierówności wynika nierówność

    3. definicja przez ciągłość: jest taką wartością, którą należy nadać funkcji w punkcie by była w tym punkcie ciągła:

    Twierdzenie odwrotne – dla danego twierdzenia twierdzenie w którym założenie zamieniono z tezą wyjściowego twierdzenia. Niech będzie dane twierdzenie: jeśli A, to B; wtedy twierdzenie odwrotne do niego jest zdaniem jeśli B, to A. Twierdzenie odwrotne do danego prawdziwego twierdzenia nie musi być zdaniem prawdziwym. Twierdzenie odwrotne jest równoważne twierdzeniu przeciwnemu.Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
    jest ciągła w (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.)

    Warunek w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie testujemy W definicji przez ciągłość pojawia się w to miejsce warunek który jest oczywiście spełniony, bo

    Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) – miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.

    Jeżeli istnieje granica funkcji w punkcie i jest równa to piszemy

    Całka Lebesgue’a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a. Rozszerzenie dotyczy także dziedziny, na której mogą być określone funkcje podcałkowe.Całka oznaczona – w matematyce, w zależności od kontekstu, synonim nazwy "całka Riemanna" albo ogólniej: określenie odnoszące się do tych pojęć całki, dla których zachodzi pewna wersja wzoru Newtona-Leibniza, jak na przykład:

    i czytamy „ dąży do gdy dąży do

    Heinrich Eduard Heine (urodzony 18 marca 1821 roku w Berlinie w Niemczech – zmarł 21 października 1881 roku w Halle w Niemczech), niemiecki matematyk, znany ze szkolnej definicji granicy funkcji, autor twierdzenia Heinego-Borela charakteryzującego zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej.Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.

    lub równoważnie

    co czytamy: „limes przy dążącym do równa się ”.

    Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji). Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.
    Dlatego granica jako nie istnieje.

    Granica jednostronna[ | edytuj kod]

     Zapoznaj się również z: Granica jednostronna.

    Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.<|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>

    Liczba jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia dziedziny, co zapisuje się

    Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.Twierdzenie o trzech ciągach – twierdzenie analizy matematycznej opisujące zachowanie ciągów zbieżnych. Analogiczne twierdzenie zachodzi również dla funkcji, wówczas znane jest ono jako twierdzenie o trzech funkcjach. Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss.
    przy (odpowiednio: przy )

    lub

    Metoda wyczerpywania (łac. methodus exhaustionibus) – metoda obliczania pola powierzchni figury geometrycznej za pomocą wpisania w nią ciągu wzajemnie rozłącznych wielokątów o znanej powierzchni, których suma pól zbliża się do powierzchni badanej figury.  Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.
    (odpowiednio: ),

    gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

    Gottfried Wilhelm Leibniz, znany także pod nazwiskiem Leibnitz (ur. 1 lipca 1646 w Lipsku, zm. 14 listopada 1716 w Hanowerze) – niemiecki polihistor: filozof, matematyk, prawnik, inżynier–mechanik, fizyk, historyk i dyplomata.Augustin Louis Cauchy (ur. 21 sierpnia 1789 w Paryżu, zm. 23 maja 1857 w Sceaux pod Paryżem) – francuski matematyk. Zapoczątkował projekt postulujący i przedkładający dowody twierdzeń analizy matematycznej w ścisłej formalnej postaci. Zawdzięczamy mu również kilka ważnych twierdzeń analizy zespolonej oraz zapoczątkowanie studiów nad grupami permutacyjnymi. Swą dogłębnością oraz precyzją Cauchy wywarł wielki wpływ na metodologię pracy ówczesnych matematyków oraz ich nowoczesnych następców. Jego publikacje obejmują w pełni ówczesną matematykę oraz fizykę matematyczną.
    definicja Heinego dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego (odpowiednio: )   oraz
    ciąg wartości funkcji dąży do przy definicja Cauchy’ego (odpowiednio: ).

    Granica niewłaściwa[ | edytuj kod]

     Zapoznaj się również z: Granica niewłaściwa funkcji.

    Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą co zapisuje się

    Łacina, język łaciński (łac. lingua Latina, Latinus sermo) – język indoeuropejski z podgrupy latynofaliskiej języków italskich, wywodzący się z Lacjum (łac. Latium), krainy w starożytnej Italii, na północnym skraju której znajduje się Rzym.
    przy

    lub

    gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji: definicja Heinego dla każdego ciągu takiego, że oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy definicja Cauchy’ego

    Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą trzeba tylko wszędzie zamienić na a definicję Cauchy’ego zapisać tak:

    Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

    Granica w nieskończoności[ | edytuj kod]

    Granica tej funkcji w nieskończoności istnieje

    Funkcja określona dla wszystkich (odpowiednio: ) ma granicę w plus (odpowiednio: minus) nieskończoności, co zapisuje się przy (odpowiednio: )

    lub (odpowiednio: ),

    gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji: definicja Heinego dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz (odpowiednio: dla każdego oraz ),
    ciąg wartości funkcji dąży do przy definicja Cauchy’ego

    Asymptota pozioma

    (odpowiednio ).

    Granica niewłaściwa w nieskończoności[ | edytuj kod]

    Funkcja określona na przedziale ma w nieskończoności granicę niewłaściwą co zapisuje się przy

    lub

    gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji: definicja Heinego dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy definicja Cauchy’ego

    Analogicznie definiuje się:

  • granicę niewłaściwą funkcji w
  • granicę niewłaściwą funkcji w
  • granicę niewłaściwą funkcji w


  • Podstrony: [1] 2 [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 1.11 sek.